Vierkantsvergelijkingen
 

Hallo iedereen!

Bij wiskunde hebben we weer een nieuw hoofdstuk aangesneden: vierkantsvergelijkingen.
Het ligt me half half, afhankelijk van welk soort vergelijking ik krijg.
Daar het bijna examens zijn probeer ik al een aantal oefeningen uit. Ben er zojuist 2 tegengekomen waar ik niet goed weet wat ik moet doen.

Het is toegestaan in de volgende vergelijkingen de distributieve eigenschap toe te passen en dan met de discriminant alles op te lossen, maar ik heb het gevoel dat deze vergelijkingen eenvoudiger en vlugger op te lossen zijn zonder de discriminant...

1) (x+2)(x+3) = 6(x+2)

Hierbij heb je dus 2x de factor (x+2) waardoor je als je deze naar het linkerlid zou kunnen brengen als term (dus als een optelling of aftrekking), je hem voorop kan zetten. Dit is dus niet het geval aangezien er in het rechterlid sprake is van een vermenigvuldiging.

2) (3x+5)(x-1) = (2-x)(x-3) + 2x

Hier weet ik al helemaal niet hoe ik eraan moet beginnen. Ik zou zeggen: uitwerken en dan discriminant toepassen, maar mijn buikgevoel geeft aan dat er een eenvoudigere weg is.

Zouden jullie me op weg kunnen zetten? Als er natuurlijk geen eenvoudigere weg is dan m.b.v. de discriminant, dan is er geen probleem.

Met vriendelijke groeten

Woopa

1) Hier kun je ook delen door x+2. Merk wel op dat x+2 = 0 ook een oplossing is.

2) Hier zou ik gewoon de haakjes wegwerken en de ABC-formule toepassen (discriminant bepalen dus).

(x+2)(x+3) = 6(x+2)
Dit is een uitdrukking van de gedaante a∙b = a∙c. Uit a∙b = a∙c volgt dat a = 0 of b = c.
Wat volgt er dus uit (x+2)(x+3) = 6(x+2)?

(3x+5)(x-1) = (2-x)(x-3) + 2x
Werk links en rechts de haakjes weg, schrijf de vergelijking vervolgens in de gedaante ax²+bx+c = 0 en los deze op met de abc-formule.

Want je kunt schrijven a∙b − a∙c = 0 en dan a∙(b − c) = 0.

Bedankt voor jullie hulp jongens!

Van die regel bij de eerste vergelijking heb ik nog nooit gehoord. Ik vermoed dat a daar gelijk is aan (x+2)? Dan krijg je als oplossingen x = -2 of x = 3. Klopt dat?

Klopt!

Bij een rekenregel moet je altijd proberen te begrijpen waarom de regel geldt, dan herken je ook sneller wanneer je 'm kan toepassen en maak je minder snel fouten. In dit geval is dat niet zo moeilijk. Men neme:
ab = ac.
Als a = 0, dan staat er 0*b = 0*c. Aan deze gelijkheid is voldaan voor alle b en c, want 0 keer iets is gewoon 0. Dus a = 0 is een oplossing van de vergelijking.
Stel dat a niet 0 is, dan kun je beide zijden van de vergelijking delen door a. Dan staat er:
b = c
En dit geeft je de tweede oplossing.

Da's inderdaad een pak duidelijker! Bedankt!

Het oplossen van vierkantsvergelijkingen lijk ik onder de knie te hebben. Het opstellen a.d.h.v. een vraagstukje is nog iets anders.

Ben dit vraagstukje tegengekomen en dacht het simpel op te lossen, maar helaas... Er gaat iets mis in het opstellen van mijn vergelijking.

Ik stel |EB| = (4+x)² en |EC| = 17² - (4+x)².

Als ik dan pythagoras zou willen toepassen in driehoek BEC kom ik uit op:
(4+x)² + 17² - (4+x)² = 17²

Natuurlijk kan dit niet, want dan krijg ik gewoon 0 = 0. Iemand die me kan vertellen waar het fout gaat?

Ik heb het probleem niet grondig bestudeerd, maar |EB| = .

Oke, dat klopt inderdaad. Dan krijg je natuurlijk geen merkwaardig product... Maar dat komt toch op hetzelfde neer?

Dan zou je + 17² - = 17²

krijgen ...

Ik heb geen idee hoe je aan die uitdrukking komt. Waarom doe je het hele linkerlid in het kwadraat?

Driehoek BCE is rechthoekig in E als in die driehoek de stelling van Pythagoras geldt: BE² + CE² = BC². We weten dat BE² = 16 + x² en dat BC² = 17² = 289. Als we nu CE kunnen uitdrukken in x, dan hebben we een vergelijking met alleen x als onbekende en kunnen we x bepalen.

Gebruik dat driehoek CDE rechthoekig is om CE uit te drukken in x. Met Pythagoras in die driehoek geldt dat
CD² + DE² = CE². Voor de volledigheid: je eerder gevonden uitdrukking voor EC is onjuist.

Ik heb het gevonden! 16 + x² + 4² + (17-x)² = 17²
Bedankt voor de hulp!

Edit:

Klein vraagstukje gevonden waar ik waarschijnlijk weer iets onbenulligs fout doe...

In een cirkel is een koorde, die 3 cm langer is dan de straal, op 3 cm van het middelpunt gelegen.
Bereken de straal van de cirkel.

Koorde: r+3

Dan weet ik dat ik in een rechthoekige driehoek kan werken waarbij de ene rechthoekszijde die 3 cm tot het middelpunt is, en de andere

Dan zou je krijgen: 3² + = r²

Ik werk dan eerst het kwadraat uit en bekom 9 + = r²

Dan die vier wegwerken door beide leden te vermenigvuldigen met 4. Vervolgens bekom ik dan als vergelijking -3r² + 6r + 45 = 0

En dan komen m'n wortels niet uit ...

Ik vind dan r = 5 of r = -3. Om duidelijke redenen zal de tweede oplossing hier niet de juiste zijn, maar wat is je bezwaar tegen r = 5?

Ow ja, sorry. Moment van verstrooiing. Had gebruik gemaakt van de som- productformule en m'n uitkomsten daarvan voor m'n wortels gehouden, wat natuurijk niet kan.

Nu kom ik inderdaad ook 5 en -3 uit.
Toch bedankt om te bevestigen dat ik correct bezig was!

Jongens, zouden jullie me nog eens kunnen helpen? Deze keer is het niks met cijfertjes (denk ik toch), maar is het een 'rare' soort oefening.

Ter voorbereiding van het examen heeft onze leerkracht een voorbeeldtoets gepost. Daarbij is er één vraag me niet duidelijk.

Bepaal alle getallen die gelijk zijn aan hun kwadraat

Moet je hier werken met (A-B) * (A+B) = A² - B²
of x en -x = x²

Hier kom ik niet zo goed aan uit. Zouden jullie dit kunnen verduidelijken?

Edit: ik dacht aan 0, 1, √0, √1

Met vriendelijke groeten

Woopa

Je moet inderdaad op 0 of 1 uitkomen. Stel x is het gezochte getal, dan moet gelden: x = x². Schrijf nu voor het linkerlid x∙1 en voor het rechterlid x∙x, en pas vervolgens toe dat uit a∙b = a∙c volgt dat a = 0 of b = c.

Ik zou x = x² herleiden tot x - x² = 0 en vervolgens een factor x buiten haakjes halen om te komen tot x(1 - x) = 0. Komt natuurlijk op hetzelfde neer, maar is denk ik net wat inzichtelijker.

Hehe, dat was dan toch niet zo moeilijk als gedacht. Toch bedankt voor de verduidelijking, want zelf was ik er niet op gekomen.