ABC(D(E))-formule

De abc-formule voor tweedegraadsfuncties ken ik wel, maar er schijnen ook formules voor derde- en vierdegraadsfuncties te bestaan om nulpunten uit te rekenen. Weet iemand misschien hoe die werken en of ze niet erg ingewikkeld zijn? (ze lijken me handig, kan ik ze in m'n GR zetten)

[mathfreak]

Er bestaan inderdaad formules om derde- en vierdegraadsvergelijkingen op te lossen. Om de vergelijking a*x^3+b*x^2+c*x+d=0 op te lossen ga je als volgt te werk: stel y=x+b/3*a. Dit levert de vergelijking y^3+3*p*y+q=0 met p=(3*a*c-b^2)/9*a^2
en q=(2*b^2-9*a*b*c+27*a^2*d)/27*a^3. We noemen D=4*p^3+q^3 de discriminant die bij deze vergelijking hoort. Stel u=(-q+sqrt(D))/2
en v=(-q-sqrt(D))/2, dan vinden we met de formule van Cardano de oplossingen x=u^(1/3)-v^(1/3)
of x=(-1/2+1/2*i*sqrt(3))u^(1/3)+(1/2+1/2*i*sqrt(3))v^(1/3)
of x=-(1/2+1/2*i*sqrt(3))u^(1/3)-(1/2-1/2*i*sqrt(3))v^(1/3),
met i^2 = -1.
Om de vergelijking a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0 op te lossen ga je als volgt te werk: stel y=x+b/4*a. Dit levert de vergelijking y^4+p*y^2+q*y+r=0 met p=(8*a*c-3*b^2)/8*a^2,
q=(b^3-4*a*b*c+8*a^2*d)/8*a^3
en r=(16*a*b^2*c+256*a^3*e-3*b^4-64*a^2*b*d)/256*a^4. We beschouwen nu de vergelijking t^3-p*t^2-4*r*t+4*p*r-q^2=0. Indien u een oplossing van deze vergelijking is, dan vinden we met behulp van de formule van Ferrari dat geldt:
y^2+sqrt(u-p)(2*y(u-p)-q)/2(u-p)+u/2=0
of y^2-sqrt(u-p)(2*y(u-p)-q)/2(u-p)+u/2=0.

wat is sqrt precies?

[M-King]

FlorisvdB schreef:
wat is sqrt precies?

wortel

[mathfreak]

FlorisvdB schreef:
wat is sqrt precies?

De functie sqrt(x) die je in diverse programmeertalen tegenkomt staat voor de vierkantswortel (Engels: square root) van x. Ik en anderen gebruiken deze functie hier op het forum om in formules de vierkantswortel van een bepaalde uitdrukking weer te geven.

Ok Mathfreak ik heb die berekening ff doorgelezen en geprobeerd het te snappen, maar ik snap ff niet waar je dit allemaal vandaan haalt:

y=x+b/3*a.
y^3+3*p*y+q=0 met p=(3*a*c-b^2)/9*a^2
en q=(2*b^2-9*a*b*c+27*a^2*d)/27*a^3.
D=4*p^3+q^3 de discriminant die bij deze vergelijking hoort. Stel u=(-q+sqrt(D))/2
en v=(-q-sqrt(D))/2

En hetzelfde geldt voor een vierdegraads-oplossing.
die i heeft iets met complexe getallen te maken? (weleens van gehoord maar weet er verder niks van)

Er bestaat dus geen formule die vergelijkbaar is met de ABC-formule (wat eenvoudigheid betreft)?

[mathfreak]

FlorisvdB schreef:
Ok Mathfreak ik heb die berekening ff doorgelezen en geprobeerd het te snappen, maar ik snap ff niet waar je dit allemaal vandaan haalt:

y=x+b/3*a.
y^3+3*p*y+q=0 met p=(3*a*c-b^2)/9*a^2
en q=(2*b^2-9*a*b*c+27*a^2*d)/27*a^3.
D=4*p^3+q^3 de discriminant die bij deze vergelijking hoort. Stel u=(-q+sqrt(D))/2
en v=(-q-sqrt(D))/2

En hetzelfde geldt voor een vierdegraads-oplossing.
die i heeft iets met complexe getallen te maken? (weleens van gehoord maar weet er verder niks van)

Er bestaat dus geen formule die vergelijkbaar is met de ABC-formule (wat eenvoudigheid betreft)?

Door y=x+b/3*a in te vullen in de algemene vorm van de derdegraadsvergelijking krijg je de gereduceerde vergelijking y^3+3*p*y+q=0. De waarden voor p en q vind je door de algemene vorm van de derdegraadsvergelijking naar de gereduceerde vergelijking om te werken. Een soortgelijk verhaal geldt voor het omwerken van de de algemene vorm van de vierdegraadsvergelijking naar de gereduceerde vorm hiervan.
Het getal i wordt de imaginaire eenheid genoemd en heeft, zoals ik al aangaf, de eigenschap i^2 = -1, waarmee we complexe getallen van de vorm a+b*i met a en b reëel kunnen definiëren. Oorspronkelijk doken de complexe getallen voor het eerst op toen men de formule van Cardano voor het oplossen van de derdegraadsvergelijking had ontdekt, maar het wezen van deze getallen werd pas verduidelijkt door de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss in 1799, toen deze in zijn proefschrift aantoonde dat iedere vergelijking van de n-de graad precies n complexe oplossingen heeft. Het is helaas niet mogelijk om voor het oplossen van de derde- en de vierdegraadsvergelijkingen een eenvoudigere formule te vinden, maar het is wel mogelijk om te kijken of een oplossing door middel van ontbinden in factoren mogelijk is. Bij een derdegraadsvergelijking krijg je dan een ontbinding als (a*x+p)(x^2+q*x+r) en bij een vierdegraadsderdegraadsvergelijking krijg je dan een ontbinding als
(a*x^2+p*x+q)(x^2+r*x+s). Door deze ontbindingen uit te werken en te vergelijken met de oorspronkelijke vergelijking kun je kijken of je getallen kunt vinden waarvoor zo'n ontbinding inderdaad mogelijk is. Lukt dat niet, dan zul je toch je toevlucht tot de algemene formules voor het oplossen van een derde- of vierdegraadsvergelijking moeten nemen.

jaja, das al duidelijker, kunt u ook de algemene formule van cardano en de formule van ferrari geven?

[mathfreak]

FlorisvdB schreef:
jaja, das al duidelijker, kunt u ook de algemene formule van cardano en de formule van ferrari geven?

Die had ik al in mijn eerste reply vermeld toen ik daar de oplossingsmethode voor de derde- en de vierdegraadsvergelijking besprak. Lees mijn eerste reply nog maar eens door, dan zie je het vanzelf.