exponetieele groei

[snootie]

De vraag is: Een hoeveelheid neemt maandelijks met 3% af, nahoeveel maanden is deze hoeveelheid gehalveerd???
pleese help

[mathfreak]

snootie schreef op 15-04-2004 @ 11:07 :
De vraag is: Een hoeveelheid neemt maandelijks met 3% af, nahoeveel maanden is deze hoeveelheid gehalveerd???
pleese help

Het gaat hier om een groeifunctie van de vorm N(t)=N(0)(0,97)^t,
waarbij N(t) de hoeveelheid op tijdstip t voorstelt en t de tijd in maanden. Er moet gelden: N(t)=1/2*N(0), dus N(0)(0,97)^t=1/2*N(0), dus (0,97)^t=1/2. Neem links en rechts de logaritme, dan geldt: t*log(0,97)=log(1/2), dus t=log(1/2)/log(0,97)=22,76, dus na ongeveer 22 maanden is de hoeveelheid gehalveerd.

[snootie]

thanx ook al begrijp ik niet hellemaal waarom je die log functies door elkaar deelt leg dat eens uit plees

[Tampert]

snootie schreef op 15-04-2004 @ 11:34 :
thanx ook al begrijp ik niet hellemaal waarom je die log functies door elkaar deelt leg dat eens uit plees

Hij schreef:

t*log(0,97)=log(1/2), dus t=log(1/2)/log(0,97)=22,76,

Dit is een triviale wiskundige bewerking... a*b=c dus a = c / b

Je maakt in de boorgaande stap wel gebruik van het volgende rekeltje:

log(a^b)=b*log(a)

[mathfreak]

snootie schreef op 15-04-2004 @ 11:34 :
thanx ook al begrijp ik niet helemaal waarom je die log functies door elkaar deelt leg dat eens uit plees

Bij een exponentiële groeifunctie heb je te maken met een functie van de vorm f(x)=b*g^x. Hierbij stelt b de beginhoeveelheid voor, g de groeifactor en x het tijdsverloop. Je vindt zo dus het aantal f(x) op tijdstip x.
Voor g>1 heb je te maken met een exponentiële toename, bijvoorbeeld de groei van een bacteriekolonie, en voor g<1 heb je te maken met een exponentiële afname, bijvoorbeeld het verval van een radio-actieve stof.
Neem voor het gemak b=1, dan geldt: f(x)=g^x. Dit is een exponentiële functie met grondtal g. Veronderstel nu dat ik bij een gegeven f(x), zeg a, de bijbehorende x wil weten, dus dat ik x wil oplossen uit a=g^x. Ik moet dan g tot een bepaalde macht x verheffen om a te krijgen. Dit getal x noemen we de logaritme van a met grondtal g, notatie: x=^glog(a). Voor g=10 krijgen we de gewone logaritme van a, die we noteren als log(a).
Voor het rekenen met logaritmen bestaan de volgende regels:
^glog(a*b)=^glog(a)+^glog(b)
^glog(a/b)=^glog(a)-^glog(b)
^glog(a^x)=x*^glog(a)
^glog(a)=^plog(a)/^plog(g).
Met behulp van de laatste formule kun je logaritmen van het ene grondtal naar logaritmen van het andere grondtal omrekenen. Neem je p=10, dan vind je: ^glog(a)=log(a)/log(g), wat je met behulp van je rekenmachine kunt berekenen.
Terug naar (0,97)^t=1/2. Om hieruit t op te lossen zou je gebruik kunnen maken van de definitie a=g^x <=> x=^glog(a),
dus (0,97)^t=1/2 <=> t=^0,97log(1/2). Maak je dan ook nog gebruik van de formule ^0,97log(1/2)=log(1/2)/log(0,97) (de vierde formule met g=0,97, a=1/2 en p=10), dan vind je: t=log(1/2)/log(0,97).
Je kunt ook een tussenstap maken om dit te vinden: neem namelijk van (0,97)^t=1/2 links en rechts de (gewone) logaritme, dan geldt:
log((0,97)^t)=log(1/2). Voor log((0,97)^t) geldt volgens de derde formule (met g=10, a=0,97 en x=t): log((0,97)^t)=t*log(0,97), dus t*log(0,97)=log(1/2), dus t=log(1/2)/log(0,97).