null wel of geen element van N

[Gods zoon]

Hey ik heb nu 2 doeken die allebij iets anders beweren.
Het ene zecht dat 0 wel bij de verzameling natuurlijke getallen hoort en een die zecht dat het er niet bij hoord.

Ik dacht dat volgens de theory van Dedekind 0 geen element van N is.

Klopt dit?

0 is geen element van N

[damaetas]

huh toch wel
waarom s er anders de verzameling "Nzonder nul" of lul ik weer uit mn kazige bek?

[hendrikafox]

Gods zoon schreef:
Hey ik heb nu 2 doeken die allebij iets anders beweren.
Het ene zecht dat 0 wel bij de verzameling natuurlijke getallen hoort en een die zecht dat het er niet bij hoord.

Ik dacht dat volgens de theory van Dedekind 0 geen element van N is.

Ik hoorde laatst mijn leraar zeggen dat nul geen element is van N.

INKIE

Klopt dit?

N: verzameling natuurlijke getallen

Alle gehele getallen > 0 zijn natuurlijke getallen.

0 is geen getal. Het is bedacht om het rekenen in het decimale stelset ver vergemakkelijken...

[mathfreak]

eddie schreef:
N: verzameling natuurlijke getallen

Alle gehele getallen > 0 zijn natuurlijke getallen.

0 is geen getal. Het is bedacht om het rekenen in het decimale stelset ver vergemakkelijken...

Het getal 0 kan worden ingevoerd door N uit te breiden tot Z. Dit gaat als volgt: laat (a,b) en (c,d) geordende paren zijn uit N×N. We definiëren een equivalentierelatie door middel van de afspraak dat (a,b) en (c,d) met elkaar equivalent zijn als geldt: a+d=b+c. We definiëren een natuurlijk getal n door middel van het getallenpaar (a+n,a) en definiëren het getal 0 door middel van het getallenpaar (a,a).
We definiëren een optelling door (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) en een vermenigvuldiging door (a,b)*(c,d)=(a*c+b*d,a*d+b*c). De optelling en de vermenigvuldiging in Z voldoen aan dezelfde eigenschappen als in N. Bovendien geldt: a*b=0 <=> a=0 of b=0. Deze laatste eigenschap geeft aan dat Z geen nuldelers heeft, dwz. het is niet mogelijk dat a en b beide ongelijk zijn aan 0 en bij vermenigvuldiging toch 0 opleveren.
Nog even wat meer informatie over het getal 0. Het getal 0 zou te maken kunnen hebben met het Griekse woord "oudèn" dat "niets" betekent en met een omikron begint. Er is in oude Indiase teksten ook sprake van het woord "sūnya" dat ook nul betekent en er is zelfs een mogelijke samenhang met het Griekse woord "kenos" dat "het lege" betekent.
Ons woord "cijfer" stamt van het Arabische "sifr" dat "leeg" of "nul" betekent, maar dit woord werd uiteindelijk ook op de symbolen 1 t/m 9 overgebracht.

mathfreak schreef:
Het getal 0 kan worden ingevoerd door N uit te breiden tot Z.

DUS: 0 komt niet voor in N

Zei ik toch...

[pol]

De een neemt nul erbij, en de ander niet.
Afhankelijk van hoe het je uitkomt zou ik zeggen.

[mathfreak]

eddie schreef:

DUS: 0 komt niet voor in N

Zei ik toch...

Dat zei je, maar omdat je niet liet zien hoe de getalverzameling N tot Z kan worden uitgebreid zodat we wel een getal 0 kunnen definiëren heb ik dat maar even laten zien.
Volledigheidshalve geef ik hier nog even de axioma's van Peano waarmee we de natuurlijke getallen kunnen definiëren:
1) 1 is het eerste element van N
2) Bij ieder element n van N hoort een opvolger n' met n'=n+1
3) 1 kan geen opvolger zijn van een natuurlijk getal
4) m'=n'=>m=n
5) als M een gegeven verzameling is met 1 als element en als voor ieder element n uit M ook n'in M zit, dan geldt: M=N.
Op dit laatste axioma berust het principe van volledige inductie. Dit principe gaat als volgt: laat P een te bewijzen uitspraak over de natuurlijke getallen zijn, dan bewijzen we deze uitspraak als volgt:
i) we bewijzen eerst de juistheid van P(1)
ii) we veronderstellen dat voor een zekere k P(k) juist is (dit noemen we de inductiehypothese) en bewijzen vervolgens P(k)=>P(k'). Dit bewijs wordt de inductiestap genoemd.
iii) Omdat P(1) geldt en omdat P(k)=>P(k') geldt is P juist voor alle waarden uit N waarmee P bewezen is.

mathfreak schreef:
Dat zei je, maar omdat je niet liet zien hoe de getalverzameling N tot Z kan worden uitgebreid zodat we wel een getal 0 kunnen definiëren heb ik dat maar even laten zien.

Het kan zijn dat ik te makkelijk denk, naar de vraag was:
Is 0 een element van N?
en niet:
Is 0 een element van N? Leg uit.
Het is wel leuk dat je zoveel info geeft, maar het werd niet gevraagd.

Naja... laat maar. Het antwoord is gegeven.

[Gods zoon]

idd 0 blijt geen element uit N tezijn.
Alle getallen in N zijn eindig en 0 is dat niet. 0 schijnd er tegen woordig vaak in opgenomen te worden omdat het isommige gevballen handig is een NULL waarde te hebben.
0 is geen natuurlijk getal alleen hebben de meeste leerboeken van etegen woordig de neiging gekregen 0 als element van N tezien...

[Demon of Fire]

Hoe zit het eigenlijk met al die andere zoals R en Q etc.?
Het gehele systeem dus!

Het is geen onderdeel van de havo wiskunde B stof, dus ik heb het nog niet gehad...kan iemand mij eens een BEGRIJPELIJKE uitleg daarover geven??

Groetjes
Ben(die benieuwd is

Demon of Fire schreef:
Hoe zit het eigenlijk met al die andere zoals R en Q etc.?
Het gehele systeem dus!

Het is geen onderdeel van de havo wiskunde B stof, dus ik heb het nog niet gehad...kan iemand mij eens een BEGRIJPELIJKE uitleg daarover geven??

Groetjes
Ben(die benieuwd is

Ik heb, als het goed is, thuis een blaadje waar deze dingen opstaan. Zal vanavond wel ff kijken...

[cmoi]

Demon of Fire schreef:
Hoe zit het eigenlijk met al die andere zoals R en Q etc.?
Het gehele systeem dus!

Het is geen onderdeel van de havo wiskunde B stof, dus ik heb het nog niet gehad...kan iemand mij eens een BEGRIJPELIJKE uitleg daarover geven??

Groetjes
Ben(die benieuwd is

C : verzameling van complexe getallen
R : verzameling van reele getallen
Q : verzameling van breuken
Z : verzameling van gehele getallen
N : verzameling van natuurlijke getallen

voor zover ik weet behoort 0 niet tot N

ook geldt:

N is deelverzameling van Z
Z is deelverzameling van Q
Q is deelverzameling van R
R is deelverzameling van C

dus ook bv. Z is deelverzameling van C enz.

[Dit bericht is aangepast door cmoi (27-03-2002).]

[Demon of Fire]

cmoi schreef:
C : verzameling van complexe getallen
R : verzameling van reele getallen
Q : verzameling van breuken
Z : verzameling van gehele getallen
N : verzameling van natuurlijke getallen

voor zover ik weet behoort 0 niet tot N

ook geldt:

N is deelverzameling van Z
Z is deelverzameling van Q
Q is deelverzameling van R
R is deelverzameling van C

dus ook bv. Z is deelverzameling enz.

Mogen er ook voorbeelden bij? Wat zijn complexe en natuurlijke getallen b.v.??

Groetjes
Ben(die vaak de termen binnen de wiskunde moeilijk kan onthouden en dat makkerlijker vind bij natuur- en scheikunde

[Demon of Fire]

Ik heb, als het goed is, thuis een blaadje waar deze dingen opstaan. Zal vanavond wel ff kijken...

*wieieiiie*

Graag!

Groetjes
Ben(die erkentelijk is voor eddie zijn moeite

Demon of Fire schreef:
*wieieiiie*

Graag!

Groetjes
Ben(die erkentelijk is voor eddie zijn moeite

Kee! Heppum!

N: Natuurlijke getallen {0, 1, 2, 3 ...} incl nul!!!
Z: Gehele getallen {..., -2, -1, 0, 1, ...} (N + negative gehele getallen)
Q: Rationele getallen {..., -3, -(3/5), 0, 1.65, ...} (Z + 'echte' breuken)
R: Reële getallen {..., -3, -(3/5), 0, PI, wortel(13), ...} (Q + irrationele getallen)
C: Complexe getallen {..., -3, -(3/5), 0, PI, wortel(13), 2 + j, ...}
ø: lege verzameling {}

Mogelijke bewerkingen:
N: +
Z: +, -, *
Q: +, -, *, %
R: +, -, *, %, wortel, log

N, Z, Q, R en ø zijn weer te geven op de getallenrechte.

Verder heb je ook nog I, de imaginaire getallen... Maar die staan niet op het papiertje

Zo... voldoende geïnformeerd?

[Dit bericht is aangepast door eddie (26-03-2002).]

[Demon of Fire]

eddie schreef:

Kee! Heppum!

N: Natuurlijke getallen {0, 1, 2, 3 ...} incl nul!!!
Z: Gehele getallen {..., -2, -1, 0, 1, ...} (N + negative gehele getallen)
Q: Rationele getallen {..., -3, -(3/5), 0, 1.65, ...} (Z + 'echte' breuken)
R: Reële getallen {..., -3, -(3/5), 0, PI, wortel(13), ...} (Q + irrationele getallen)
C: Complexe getallen {..., -3, -(3/5), 0, PI, wortel(13), 2 + j, ...}
ø: lege verzameling {}

Mogelijke bewerkingen:
N: +
Z: +, -, *
Q: +, -, *, %
R: +, -, *, %, wortel, log

N, Z, Q, R en ø zijn weer te geven op de getallenrechte.

Verder heb je ook nog I, de imaginaire getallen... Maar die staan niet op het papiertje

Zo... voldoende geïnformeerd?

[Dit bericht is aangepast door eddie (26-03-2002).]

Dank U wel...ik ben voldoende geinformeerd hoor!

Groetjes
Ben(die het even zal opslaan op zijn pc

[mathfreak]

eddie schreef:

Kee! Heppum!

N: Natuurlijke getallen {0, 1, 2, 3 ...} incl nul!!!
Z: Gehele getallen {..., -2, -1, 0, 1, ...} (N + negative gehele getallen)
Q: Rationele getallen {..., -3, -(3/5), 0, 1.65, ...} (Z + 'echte' breuken)
R: Reële getallen {..., -3, -(3/5), 0, PI, wortel(13), ...} (Q + irrationele getallen)
C: Complexe getallen {..., -3, -(3/5), 0, PI, wortel(13), 2 + j, ...}
ø: lege verzameling {}

Mogelijke bewerkingen:
N: +
Z: +, -, *
Q: +, -, *, %
R: +, -, *, %, wortel, log

N, Z, Q, R en ø zijn weer te geven op de getallenrechte.

Verder heb je ook nog I, de imaginaire getallen... Maar die staan niet op het papiertje

Zo... voldoende geïnformeerd?

[Dit bericht is aangepast door eddie (26-03-2002).]

In de verzameling complexe getallen zijn dezelfde bewerkingen mogelijk als in de verzameling reële getallen. We definiëren een complex getal als een getal van de vorm a+b*i met a en b reëel en i^2 = -1.
Een extra eigenschap van de verzameling complexe getallen is dat een veeltermvergelijking van graad n altijd n complexe oplossingen heeft, zodat de veelterm in n eerstegraadsfactoren kan worden ontbonden, hetgeen in de verzameling reële getallen niet altijd mogelijk is.

[pol]

Nog even een (belangrijke) opmerking :

Er bestaat geen orderelatie in de complexe getallen. Dus ongelijkheden met complexe getallen is onzin.(Een jammer genoeg veel gemaakte fout).

mathfreak schreef:
In de verzameling complexe getallen zijn dezelfde bewerkingen mogelijk als in de verzameling reële getallen. We definiëren een complex getal als een getal van de vorm a+b*i met a en b reëel en i^2 = -1.
Een extra eigenschap van de verzameling complexe getallen is dat een veeltermvergelijking van graad n altijd n complexe oplossingen heeft, zodat de veelterm in n eerstegraadsfactoren kan worden ontbonden, hetgeen in de verzameling reële getallen niet altijd mogelijk is.

Ja, maar dat stond niet op mijn papiertje



[Dit bericht is aangepast door eddie (27-03-2002).]

pol schreef:
Nog even een (belangrijke) opmerking :

Er bestaat geen orderelatie in de complexe getallen. Dus ongelijkheden met complexe getallen is onzin.(Een jammer genoeg veel gemaakte fout).

Kun je dit ff uitleggen?

[Demon of Fire]

Kun je dit ff uitleggen?

Ik weet het niet zeker, maar ik denk omdat het geen getallen meer zijn, maar 'eigenschappen' waar je mee werkt.

Groetjes
Ben(die voor de rest de uitleg maar aan pol of mathfreak over laat

[mathfreak]

eddie schreef:

Kun je dit ff uitleggen?

Je kunt in de verzameling complexe getallen niet zeggen dat het ene getal groter of kleiner is dan het andere. Dat betekent dat ze dus niet op volgorde van grootte gezet kunnen worden, wat in de verzameling van de reële getallen en de deelverzamelingen daarvan wel mogelijk is. Er is dus in de verzameling complexe getallen geen orderelatie te definiëren.
Complexe getallen zijn niet op een getallenlijn weer te geven, maar ze zijn wel weer te geven in wat het complexe vlak wordt genoemd. Een complex getal van de vorm a+b*i wordt dan weergegeven als een punt met coördinaten (a,b) in een assenstelsel. De horizontale as heet de reële as en de verticale as heet de imaginaire as. In plaats van het complexe vlak spreekt men ook wel van het getallenvlak van Gauss of het getallenvlak van Argand. In Engelstalige landen spreekt men voornamelijk over het getallenvlak van Argand.

mathfreak schreef:
<uitleg>

Okee! Bedankt!

[pol]

Even een snel bewijsje :

Onderstel : i>0

=>i^2>0 =>-1>0 (Dit kan niet)

Dus moet gelden : -i>0

=>(-i)^2>0 => -1>0 (Dit kan ook niet)

De enige mogelijkheid die overblijft is : i=0. Maar bij definitie is i verschillend van nul.

Hiermee is aangetoond dat er in de complexe getallen geen orderelatie bestaat.

(Ik heb dit bewijsje uit mijn duim gezogen, dus als je er bedenkingen bij hebt, zeg maar. Maar ik denk toch dat het klopt.)

pol schreef:
Even een snel bewijsje :

Onderstel : i>0

=>i^2>0 =>-1>0 (Dit kan niet)

Zoals ik al eerder opmerkte:
hoe kan x^2 ooit negatief zijn?

[pol]

Het eenheid i is geen veranderlijke. Het is een gedefinieerd getal.
Zoals je het elementaire getal 1 hebt, heb je ook het elementaire getal i.

Het is gewoon de definitie.
Als je er nog niet over geleerd hebt, is het iets te uitgebreid om te beginnen uitleggen, maar de essentie is dat men kan bewijzen dat de complexe getallen een uitbreiding zijn van de reeële getallen.

De analyse van complexe getallen is zeer interessant, en kent zeer vele toepassingen, dus als ik jou was, naar de bieb, en lezen maar.

pol schreef:
Het eenheid i is geen veranderlijke. Het is een gedefinieerd getal.
Zoals je het elementaire getal 1 hebt, heb je ook het elementaire getal i.

Het is gewoon de definitie.
Als je er nog niet over geleerd hebt, is het iets te uitgebreid om te beginnen uitleggen, maar de essentie is dat men kan bewijzen dat de complexe getallen een uitbreiding zijn van de reeële getallen.

De analyse van complexe getallen is zeer interessant, en kent zeer vele toepassingen, dus als ik jou was, naar de bieb, en lezen maar.

LOL!
Ik naar de bieb??

Maar toch bedankt!

[mathfreak]

eddie schreef:

LOL!
Ik naar de bieb??

Maar toch bedankt!

Als je er geen zin in hebt om naar de bibliotheek te gaan maar toch wat meer wilt weten hoe de opbouw van de getallenverzamelingen N t/m C precies in zijn werk gaat wil ik je daar per e-mail wel wat nadere informatie over sturen. Als je daar interesse in hebt, dan kun je me bereiken op mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.

[Da King]

Wij hebben net een hoofdstuk over complexe getallen gehad. is best moeilijk om je daar iets bij voor te stellen

mathfreak schreef:
Als je er geen zin in hebt om naar de bibliotheek te gaan maar toch wat meer wilt weten hoe de opbouw van de getallenverzamelingen N t/m C precies in zijn werk gaat wil ik je daar per e-mail wel wat nadere informatie over sturen. Als je daar interesse in hebt, dan kun je me bereiken op mijn e-mailadres arno.van.asseldonk@hetnet.nl.

Ach, d'r zijn zoveel dingen die ik nog wil snappen/leren (getallenvezamelingen, assembly programmeren, vrouwen , gevoelens bespreken). Maar ik ben nu nog druk met school , dus dat gaat nu niet.

*zucht*

[Gods zoon]

eddie schreef:
Kee! Heppum!

N: Natuurlijke getallen {0, 1, 2, 3 ...} incl nul!!!
(KNIP)
Z: +, -, *
Q: +, -, *, %
R: +, -, *, %, wortel, log

N, Z, Q, R en ø zijn weer te geven op de getallenrechte.

Oke dus nu is 0 wel een element van N?
Volgens mij kan dit niet zie Theorie van Dedekind

Volgens de tehorie van Dedekend kun je volgens mij wel de bewerking - uitvoeren op N. Daar bij heb je ook nog * ,/ en ^
of bedoelde je dat je alleen + kunt uit voeren op de getallen in N?

wat ik alleen zo ff niet waat waar om je geen * en ^ op de getallen in N zou kunnen uitvoeren. a*b=c een natuurlijk getal maal een natuurlijk getal levert toch altijd een natuurlijk getal en dus ook n^2 = n*n?

Of ben ik nu slap een het lullen?

Gods zoon schreef:
Oke dus nu is 0 wel een element van N?
Volgens mij kan dit niet zie Theorie van Dedekind

Volgens de tehorie van Dedekend kun je volgens mij wel de bewerking - uitvoeren op N. Daar bij heb je ook nog * ,/ en ^
of bedoelde je dat je alleen + kunt uit voeren op de getallen in N?

wat ik alleen zo ff niet waat waar om je geen * en ^ op de getallen in N zou kunnen uitvoeren. a*b=c een natuurlijk getal maal een natuurlijk getal levert toch altijd een natuurlijk getal en dus ook n^2 = n*n?

Of ben ik nu slap een het lullen?

Een '-' kun je niet doen op N, omdat je dan onder de nul uit kunt kome (0 - 5 = -5), en dit is geen natuurlijk getal...
Zelfde geldt voor delen.

Echter, de N-verzameling wordt aangeduid (zo ff uit mijn hoofd) als
N = {x als element uit N, x + 1}
met beginwaarde N = {0}

Zal het nog wel even nakijken...

[mathfreak]

Gods zoon schreef:
Oke dus nu is 0 wel een element van N?
Volgens mij kan dit niet zie Theorie van Dedekind

Volgens de tehorie van Dedekend kun je volgens mij wel de bewerking - uitvoeren op N. Daar bij heb je ook nog * ,/ en ^
of bedoelde je dat je alleen + kunt uit voeren op de getallen in N?

wat ik alleen zo ff niet waat waar om je geen * en ^ op de getallen in N zou kunnen uitvoeren. a*b=c een natuurlijk getal maal een natuurlijk getal levert toch altijd een natuurlijk getal en dus ook n^2 = n*n?

Of ben ik nu slap een het lullen?

Even een misverstand ophelderen: vermenigvuldigen in N is wel degelijk mogelijk. In het axiomasysteem van Peano wat ik in een van mijn vorige replies heb vermeld wordt naast een optelling ook een vermenigvuldiging gedefinieerd.
De definitie van de optelling gaat als volgt: we stellen a'=a+1 en a+b'=(a+b)', waarbij a'de opvolger van a voorstelt. De definitie van de vermenigvuldiging gaat als volgt: we stellen a*1=a en a*b'=a*b+a.
De optelling geeft aanleiding tot de vraag: voor welke x uit N heeft a+x=b een oplossing? Het blijkt dat moet gelden: x=b-a met a<b. We noemen x dan het verschil van b en a. Willen we voor a=b en a>b ook een aftrekking definiëren, dan zien we ons genoodzaakt om N uit te breiden tot Z.
Peano's axiomasysteem voor N definieert geen machtsverheffing en is in dat opzicht afwijkend van de gang van zaken in de schoolwiskunde waar men machtsverheffing introduceert als een herhaalde vermenigvuldiging met een zelfde getal.
De vermenigvuldiging geeft aanleiding tot de vraag: voor welke x uit N heeft a*x=b een oplossing? Dit leidt tot het begrip deler van een getal. We noemen het getal a een deler van b als er een x uit N te vinden is zodat geldt: a*x=b. Is zo'n x niet te vinden, dan is a geen deler van b en heeft a*x=b dus geen oplossingen. In Z doet zich dezelfde situatie voor, dus willen we getallen a en b vinden waarvoor altijd een x te vinden is zodat geldt: a*x=b, ongeacht of a wel of geen deler van b is, dan dienen we Z uit te breiden tot de verzameling Q van de rationale getallen. Het blijkt dan dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve door 0) in Q altijd uitvoerbaar is. Omdat een getal in Q als een quotiënt a/b van 2 getallen a en b uit Z met b niet 0 kan worden weergegeven en omdat dit quotiënt een breuk wordt genoemd noemen we Q het breukenlichaam (Engels: field of fractions) van Z.

eddie schreef:
Een '-' kun je niet doen op N, omdat je dan onder de nul uit kunt kome (0 - 5 = -5), en dit is geen natuurlijk getal...
Zelfde geldt voor delen.

Echter, de N-verzameling wordt aangeduid (zo ff uit mijn hoofd) als
N = {x als element uit N, x + 1}
met beginwaarde N = {0}

Zal het nog wel even nakijken...

Heb het even opgezocht. Hier is een definitie van N.
Er zijn 3 stappen om een verzameling te definieren:
1) basis: Geef tenminste één element dat tot de verzameling hoort
2) inductie: Geef aan hoe uit een gegeven element en volgend element bepaald kan worden
3) uitsluiting: De betrokken verzameling is uitsluiten opgebouwd uit elementen die verkregen kunnen worden door te starten met (1), en eventueel (2) (herhaald) toe te passen.

Voor N geeft dit (met e wordt bedoeld 'element van'):
1) basis: 0 e N
2) inductie: x e N => x + 1 e N
3) uitsluiting: Alleen elementen die door toepassen van (1) en (2) verkregen kunnen worden, behoren tot N.

Met 'x => y' wordt bedoelt:
ALS x geldt, DAN geldt y. (ALS x, DAN y)

In dit geval:
ALS x een element van N is, DAN is x + 1 ook een element van N

En hier zie je dus de operator (+) staan, die de verzameling N definieert.