[WI] Oppervlakte en inhoud onder vlakken

[sauron3]

Ik vraag mij af hoe men de oppervlakte of inhoud onder bijvoorbeeld vlakken of paraboloïden uitrekent. voor de inhoud moet men volgens mij gewoon een dubbele integraal gebruiken:

I = ∫_d^c(∫_a^bf(x,y)dx)dy

deze oplossingsmethode geeft mij echter alleen een mogelijkheid om de inhoud te berekenen als het grondvlak een rechthoek is. wat nou als het een circel is? of een driehoek?

Ik tast ook in het duister over hoe men de oppervlakte van een (bijvoorbeeld) paraboloïde uitrekent.

~sauron3

[Schrödinger]

In het geval van een dubbele integraal waarbij het grondvlak geen rechthoek is, kun je ofwel de waarden {a,b,c,d} zo kiezen dat ze een ander oppervlak beschrijven, of een coördinatentransformatie toepassen. Voorbeeld van het eerste:



Dit beschrijft nu een inhoud van de functie f(x,y) boven/onder een cirkel met straal 1.

[sauron3]

in de oplossing van de circel staat sqrt(1-x^2) en -sqrt(1-x^2), wat twee halfcircles zijn. je integreert dus in plaats van naar een waarde naar een functie van x?

en hoe integreer je naar een functie in plaats van naar een getal?
voorbeeld ding om op te lossen: f(x,y) = 2x^2 + 4y^2 op een circel met straal 1 waarvan het middelpunt op de oorsprong ligt.

[Schrödinger]

Merk op dat niet afhankelijk is van y. Integreer nu alsof het "gewoon" een getal is.

[sauron3]

ah zo

ja nu snap ik het

en hoe berekent men de oppervlakte van de paraboloïde (of een ander driedimensionaal vlakachtig ding)

[Schrödinger]

Wil je een algemene formule of alleen die voor een paraboloïde (het laatste kun je vast vinden met wat Googlen)? Hiervoor is het handig om bekend te zijn met vectorcalculus.

[sauron3]

oh ah zo, ja dan wordt het misschien wat te ingewikkeld. ik heb nog geen vectorcalculus gehad, ik zit nog maar in V6.

[mathfreak]

Bedenk dat een paraboloïde niets anders is dan een parabool die om een horizontale of verticale as gewenteld wordt. Neem bijvoorbeeld een parabool van de gedaante y = ax². Als je deze om de y-as wentelt levert dat een verticale paraboloïde op, en als je de parabool y² = ax om de x -as wentelt levert dat een horizontale paraboloïde op.