[WI] Kansrekenen

[Woopa]

Hallo iedereen!

Ik heb 2 kleine vragen i.v.m. 2 vraagstukken kansrekenen. Zouden jullie me dat laatste duwtje in de rug naar de oplossing kunnen geven? Alvast bedankt!

Als men de cijfers 1, 2, 3, 4, 5 in willekeurige volgorde achter elkaar schrijft tot een getal van vijf cijfers, wat is dan de kans dat het getal deelbaar is door 6?

Hierbij dat ik al uitgemaakt dat het totaal aantal combinaties 3125 bedraagt (5^5).
Toen vond ik ook nog dat enkel getallen die eindigen op 12, 24, 42 of 54 deelbaar zijn door 6.
En toen zat ik een beetje vast. We hebben geleerd met kansbomen te werken en omgekeerd te redeneren. Ik dacht dus dat het laatste getal moet 2 of 4 zijn, het voorlaatste getal 1, 2, 4 of 5 en de getallen daarvoor eender welke.
Dan krijg je als vermenigvuldiging: 5*5*5*4*2, wat 1000 geeft. Maar dat blijkt niet het getal te zijn dat ik zoek, want 1000/3125 is niet gelijk aan 40% (Ik weet de oplossing al, helaas nog niet de redenering)


In een loterij met 10000 biljetten zijn er 250 prijzen
Bereken de theoretische kans dat je met twee biljetten minstens één prijs hebt.

Met 2 biljetten minstens 1 prijs hebben wil dus eigenlijk zeggen 1 of 2 prijzen hebben.

De kans om met 1 biljet prijs te halen is 1/40 en om met 2 biljetten prijs te halen 1/1600 , maar verder stokt het helaas...

Zouden jullie me kunnen helpen alsjeblieft?
Mijn dank is groot!

Met vriendelijke groeten
Woopa

[Tochjo]

Je lijkt bij de eerste opgave aan te nemen dat elk cijfer meerdere keren kan voorkomen. Uit de vraag haal ik dat elk cijfer precies één keer moet voorkomen. Vanzelfsprekend verandert dat de vraag nogal. Het maakt hem zelfs een stuk eenvoudiger, want elk zo te vormen getal is altijd deelbaar door 3, omdat de som van de cijfers deelbaar is door 3. Vervolgens hoef je alleen nog te zorgen voor deelbaarheid door 2 om deelbaarheid door 6 voor elkaar te krijgen.

Overigens is het wel interessant om eens te denken over de situatie waarbij een cijfer meer dan eens mag voorkomen, zoals jij lijkt te hebben aangenomen. In dat geval gaat je denkwijze op verschillende punten mis. Zo is het niet zo dat alle getallen die eindigen op 12, 24, 42 of 54 deelbaar zijn door 6. Neem bijvoorbeeld 12124. Bovendien is het niet zo dat alleen getallen die eindigen op 12, 24, 42 of 54 deelbaar zijn door 6. Neem bijvoorbeeld 12144. En stel dat dat allemaal wel zo was geweest en je had willen weten hoeveel getallen eindigen op 12, 24, 42 of 54, dan kun je dat niet op jouw manier berekenen. Jouw berekening staat namelijk ook combinaties toe die daar niet toe behoren, zoals 14 en 52 als laatste cijfers. Je moet dus wat anders proberen. Iets met gevalsonderscheidingen (somregel) lijkt me dan het handigst.

Bovendien kan onder de aanname dat een cijfer vaker dan eens kan voorkomen, de kans nooit 0,4 zijn. Een getal dat deelbaar is door 6 moet in het bijzonder deelbaar zijn door 2. Het kan dus niet eindigen op 1, 3 of 5. Omdat elk eindcijfer even vaak voorkomt, valt 60 procent van alle mogelijkheden direct af. Hoogstens 40 procent kan dus deelbaar zijn door 6. Maar ik heb hierboven al laten zien dat niet alle getallen die eindigen op 2 of 4 deelbaar zijn door 6, dus is het echt minder dan 40 procent. Zelf denk ik dat 416 van de zo te vormen getallen deelbaar zijn door 6.

Voor je tweede probleem lijkt het me handiger te werken met complementaire kansen: bereken de kans dat je geen prijs hebt en haal die van 1 af.

[the economist]

Tochjo heeft helemaal geljjk.
Ook ik las het dat je al deze vijf cijfers maar een keer mag gebruiken. Sowieso deelbaar door 3, en als het dan ook nog deelbaar is door twee, kun je het dus eerst door twee en dan nog es door drie delen, dus door zes.

Voor de optie dat het toch 3125 mogelijkheden zijn:
van een willekeurige reeks getallen is steeds het zesde deelbaar door 6. (6-12-18-24)
de kans bij een grote set getallen is dus 1/6. Het lijkt mij dat deze set en groot genoeg en willekeurig genoeg is om 1/6 als heel aardige schatting te nemen. maar dan wel met inachtneming van het feit, dat je laatste cijfer in 60% van de gevallen oneven is, en onenven is nooit deelbaar door zes. Van de overige 40% dus via de regel boven ongeveer 1/3. kom ik op 13.33 %

2. zie tochjo

[Woopa]

Oké, dan heb ik inderdaad een redeneringsfout gemaakt... Er zijn dan 5*4*3*2*1 = 120 mogelijke combinaties? Ik denk dat het inderdaad zo is dat ik elk cijfer slechts 1 keer kan gebruiken.

Alle combinaties zijn deelbaar door 3, dus als het getal dan nog eens deelbaar moet zijn door 2, moet het laatste cijfer 2 of 4 zijn? Dan zou je (van achteren te beginnen) 2*4*3*2*1 = 48 mogelijk combinaties hebben die deelbaar zijn door 6?


2e vraagstuk
De kans om geen prijs te hebben = 9750/10000? Dus dan zou je 1 - 0,975 = 0,0025 krijgen?

[Tochjo]

Als je één lot hebt, ja. Bij twee loten is de kans op geen prijs uiteraard iets kleiner. Hoe zou je dat kunnen meenemen?

[Woopa]

Dat zou ik niet weten. Ik heb de uitkomst wel gevonden zonder gebruik te maken van de complementregel. Je krijgt dan als redenering: eerste ticket prijs en tweede ticket geen prijs of eerste en tweede ticket prijs of eerste ticket geen prijs en tweede ticket prijs.

Met cijfers: 0,025*0,975 + 0,025² + 0,975*0,025 = 0,049375

Maar ik zou het ook graag willen berekenen zoals jij voorstelt! Helaas zou ik niet weten hoe?

[Tochjo]

Jouw antwoord is incorrect. Je rekent met dezelfde kans op een prijs bij beide loten, maar dat is incorrect. Wiskundig gezegd: er is hier sprake van trekken zonder terugleggen, waardoor de kansen veranderen.

De kans op één lot waar geen prijs op valt, is . Er zijn immers 10.000 loten en op 9750 ervan valt geen prijs. De kans op een volgend lot waar geen prijs op valt, is . Nadat je dat eerste lot gekocht hebt, zijn er namelijk nog maar 9999 over, en op 9749 daarvan valt geen prijs. De kans op twee loten zonder prijs is daarom .
De gevraagde kans is dus . Dit is afgerond wel 0,049, net als jouw antwoord (want bij zulke grote hoeveelheden maakt het erg weinig uit of je trekken met terugleggen of trekken zonder terugleggen gebruikt), maar onafgerond is het antwoord wel anders. Bij kleinere aantallen maakt het wel duidelijk verschil.

[1337Gamer]

Tochjo legt ook altijd alles goed uit "1 biljet prijs te halen is 1/40 en om met 2 biljetten prijs te halen 1/1600" moest ik wel even om lachen , denk dat ik dan voortaan maar met 1 lot ga meespelen ipv. 2

[Woopa]

Sorry voor de late reactie! Had het vrij druk met een aantal opdrachten voor school!

Nu je het zegt, ja. Ik zou het verdorie moeten geweten hebben: we hebben gelijkaardige oefeningen gemaakt in de klas...
Alleszins erg bedankt om me hierbij te helpen. Het hoofdstuk is afgesloten, maar is natuurlijk wel nog leerstof voor m'n paasexamen
Nogmaals bedankt!

[the economist]

Woopa schreef:

Sorry voor de late reactie! Had het vrij druk met een aantal opdrachten voor school!

Nu je het zegt, ja. Ik zou het verdorie moeten geweten hebben: we hebben gelijkaardige oefeningen gemaakt in de klas...
Alleszins erg bedankt om me hierbij te helpen. Het hoofdstuk is afgesloten, maar is natuurlijk wel nog leerstof voor m'n paasexamen
Nogmaals bedankt!

klinkt als 'pass examen'