[WI] [Lineaire algebra] vergelijkingen

[Johan2009]

Beste mensen,

Voor een vraagstuk voor mijn studie moet ik stensel lineaire vergelijkingen maken. Ik weet wel wat een vergelijking is, maar met de volgende opgave kom ik er echt niet uit:

P1 = 1/3 (p2 + p4 +0)
p2= 1/4 (p1 + p3 + p4 + 1)
p3 = 1/4 (p1 + p3 + p4 + 1)
p4 = 1/5 (P1 + p2 + p5 + p6 + 0)
P5 =1/3(P6 + p4 + p3 + 0)
P6 = 1/3(P4 + P5 + 0)

Hoe kan je hier nou een goed stensel lineaire vergelijking van maken? Iemand enig idee?

[mathfreak]

Merk op dat p₂ = p₃, dus p₁ = ⅓(p₃+p₄). Vul dit eens in in de uitdrukking voor p₃ en druk nu p₃ uit in p₄. Je vindt dan tevens een uitdrukking voor p₁ in p₄. Er geldt: p₆ = ⅓(p₄+p₅). Vul dit eens in in de uitdrukking voor p₅ en druk nu p₅ uit in p₄.

[Johan2009]

mathfreak schreef:

Merk op dat p₂ = p₃, dus p₁ = ⅓(p₃+p₄). Vul dit eens in in de uitdrukking voor p₃ en druk nu p₃ uit in p₄. Je vindt dan tevens een uitdrukking voor p₁ in p₄. Er geldt: p₆ = ⅓(p₄+p₅). Vul dit eens in in de uitdrukking voor p₅ en druk nu p₅ uit in p₄.

Zou het ook in een matrix kunnen?

[mathfreak]

Johan2009 schreef:

Zou het ook in een matrix kunnen?

Waarschijnlijk wel, maar het kan ook zonder matrix.

[ILUsion]

Tuurlijk kan het ook in matrix. Om lineaire stelsels via matrixnotatie op te lossen:
1) schrijf je vergelijkingen onder elkaar met links alle variabelen en een eventuele term rechts van elk gelijkheidsteken, zorg ervoor dat je steeds eerst de term in p1, dan in p2, ... schrijft
2) de coëfficiënten voor je matrix kan je nu gewoon aflezen uit die vergelijking alsook die voor je vector
3) het oplossen daarvan kan via de normale matrixmethodens (Cramer, inversie, omvormen naar rijcanonieke vorm,...)

Om even een simpel voorbeeld te geven:

Omzetten naar matrix geeft:


Hetzelfde kan je doen met grotere stelsels natuurlijk

Johan2009 schreef:

Zou het ook in een matrix kunnen?

In dat geval kun je het beste eerst het stelsel reduceren tot 3 of 4 vergelijkingen.