Ontbinden in factoren
 

Heey iedereen!
Zoals de titel doet vermoeden heb ik een aantal problemen bij het ontbinden in factoren. Het is leerstof die nog gezien moet worden voor het examen en het kan zijn dat ik dus een heleboel oefeningen post waarbij ik niet weet hoe ik moet beginnen, of aan een stap vast zit, of een (compleet) andere uitkomst heb dan achteraan mijn boek. Hier volgt de eerste veelterm:

(2x-2)(3x+4) - (x-1)(2x-1)
= 2(x-1)(3x+4) - (x-1)(2x-1)
= 2(x-1)(3x+4-(2x-1)

En daar stopt het dan, ik reken de haakjes dan nog wel uit en dan krijg je:
2(x-1)(x+5) en dan weet ik het ook niet meer...

Iemand die me kan helpen door te zeggen wat ik verkeerd doe?

Dan post ik ook een tweede veelterm die ik helaas niet weet op te lossen:
(x²+1)(x+2) - (x+1)(x+2)
= (x+2)(x²+1-x-1)
= (x+2)(x²-x)

En dan loopt het ook weer vast. Ik denk er dan aan om bij die laatste factor het merkwaardig product van toegevoegde tweetermen te gebruiken, maar dan krijg vierkantswortel x, en dat staat nergens in onze oplossing achteraan...

Iemand die me op weg kan zetten met beide veeltermen?
Mijn dank is groot!

Mvg Woopa

(2x-2)(3x+4) - (x-1)(2x-1)
Je moet: (2x-2) keer (3x+4) doen
zo dus 2x keer 3x
2x keer 4
-2 keer 3x
-2 keer 4

zelfde met (x-1)(2x-1)

zo iets moet het VOLGENS mij wordenm graag bevestiging van iemand die beter in wiskunde is dan ik.
6x(kwadraat)+8x-6x-8-2x(kwadraat)-x-2x+1

natuurlijk nog wat verder uitwerken

Zoiets dacht ik dus ook, maar dan werk je uit, en ontbind je niet in factoren...

shit hey,
maar als ik ontbinden in factoren zoek, krijg ik resultaten van dat je juist haakjes moet creëren http://www.dr-aart.nl/Herleiden-ontb...-factoren.html

Je moet eerst alles volledig uitschrijven (dus eerst de haakjes weg werken).

Je trekt hier een product af van een ander product. Als je eerst deze producten bepaald (even haakjes wegwerken), kan je ze van elkaar afhalen. Deze uitdrukking is vaak veel simpeler, en kan je ontbinden.
(2x-2)(3x+4) - (x-1)(2x-1)
= 4x² + 5x -9 (Ga dit zelf na!)

Hoe ontbind je dit nou makkelijk? Probeer eerst eens te kijken of je kan vinden waar deze functie 0 is (gewoon x=1 , 2, 3 , -1, -2 invullen) vaak komt er na een paar keer proberen wel nul uit. Je hebt nu 1 nulpunt gevonden. Hier is het gelijk al beet bij x=1. Je weet dus dat de eerste term (x-1) is. (let op het minteken)

(x-1) * ??? = 4x² + 5x -9

Wat moet er nou op de plek van ??? komen te staan? Iets in de vorm van (a x + b)
(x-1) * (a x + b) = 4x² + 5x -9

als je dit schrijft krijg je:
a x² + b x- ax -b

Je ziet nu dat a=4 en b=9
4x² + 5x -9 = (x-1)(4x + 9)

Probeer bij die tweede nu ook eerst de haakjes uit te werken.

jay, echte hulp!

Functie 0 en nulpunt? Nog nooit van gehoord...

Heb overigens vandaag wiskunde gehad en heb het de leerkracht kunnen vragen, dus problemen zijn opgelost, maar nu zijn er weer twee veeltermen opgedoken waarbij ik een andere uitkomst heb of niet weet hoe ik eraan moet beginnen.
Eerste veelterm:
-18xy+3+27x²y²
3(-6xy+1+9x²y²)
3(1-3xy)²

Nu staat er vanachter in ons handboek dat de oplossing 3(3xy-1)² moet zijn. Dit komt toch op hetzelfde neer? En hoe kan je hier in godsnaam zien welk getal negatief moet zijn tussen de haakjes?

Volgende veelterm: Deze moet je berekenen door enkel en alleen gebruik te maken van het afzonderen van de gemeenschappelijke factor.

2(x+1)-(x+1)²
(x+1)(2-1)
(x+1)

Dit kan natuurlijk niet en achteraan ons handboek staat als oplossing (x+1)(x-1). Ik heb geen idee hoe ze daar aan komen. Ook kan ik dit niet oplossen door eerst de haakjes uit te werken, want zo heb ik het niet geleerd en kan ik het dus ook niet...

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen?

Schrijf -6xy+1+9x²y² eens in een andere volgorde zodat je (3xy-1)² krijgt. Bedenk dat je bij 2(x+1)-(x+1)² een gemeenschappelijke factor x+1 hebt. Wat krijg je dan bij (x+1)² voor ontbinding, dus hoe ontbind je
2(x+1)-(x+1)² in factoren?

Bij het eerste: 3( 9x²y² - 6xy + 1). Maar maakt dat eigenlijk echt zoveel uit?

Bij het tweede ben ik erachter gekomen dat ik altijd vast zit als ik een gemeenschappelijke term heb die tot een kwadraat verheven is. Ik zie ook dat er bij de oplossing achteraan gewoon steeds een 1 erbij opgeteld wordt, maar hoe ze daar aankomen, heb ik geen flauw idee van. Je krijg dan toch eigenlijk gewoon (x+1) * (x+1) ?

Omdat je het kwadraat berekent maakt het eigenlijk niet uit omdat (1-3xy)² = (-[3xy-1])² = (-1)²(3xy-1)² = (3xy-1)².

Dat klopt. Je past namelijk niets anders toe dan de definitie van een kwadraat.

Ik denk dat ik het heb!
2(x+1) - (x+1)(x+1)
(x+1)(2-x-1)
(x+1)(-x+1) of (x+1)(1-x)

Volgend probleem dat opdook ...
3x-y-9x²+6xy-y²
(3x-y)+(3x-y)²
(3x-y) + (3x-y)(3x-y)
(3x-y)(3x-y+1)

Maar, als ik achteraan bij mijn oplossingen kijk staat er als oplossing (3x-y)(-3x+y+1). Deze oplossing snap ik aangezien je -9x² moet krijgen en -y². Nu vroeg ik me gewoon af of je tijdens je tussenstappen hier iets aan kan doen. Zoals je ziet blijft die min bij m'n tussenstappen bij die y staan, terwijl ze eigenlijk naar de 3x moet. Kan je hier iets aan doen, of moet je als je je veelterm ontbonden hebt, gewoon op het einde eens kijken of het klopt en anders je teken gewoon even switchen?

kijk eens naar 3x-y-9x²+6xy-y². Hier staat in feite 3x-y-(9x²-6xy+y²). Ga van daaruit eens verder.

Dat probleem is opgelost ondertussen. Nu zijn er wel 2 andere veeltermen opgedoken waarvan het ontbinden me niet echt lukt...

(2x-1)² - 4(2x-1) + 4
(2x-1) * (2x-5) +4

En hier stopt het weer. Ik zonder eerst mijn gemeenschappelijke term 2x-1 af, alhoewel ik ten zeerste betwijfel of deze m'n gemeenschappelijke term is, aangezien 4 alleen staat. Achteraan m'n boek staat als oplossing (2x-3)², maar ik heb geen idee hoe ze daarbij komen.
Tweede veelterm:

-

Hier heb ik zelf geen idee hoe ik eraan moet beginnen, aangezien er geen gemeenschappelijke term is en ik niet weet hoe ik zou moeten gaan groeperen...

Iemand die me kan helpen?

Begin eerst eens met alle haakjes uitwerken.

*dus eerst dat kwadraat weg doen. En daarna dat stukje met die 4 vermenigvuldigen.

Je krijgt nu een aantal termen met x² , x en [getal]

vereenvoudig dit. Dan houd je één term met x² over. Één met x, en één zonder getal.
Vervolgens moet je dit op gaan splitsen.

Werk (2x-1)(2x-5)+4 eens uit en kijk eens of je kunt ontbinden in factoren.
Bedenk dat (x+y)⁴ en y⁴ allebei kwadraten zijn. Je hebt dus iets van de vorm a²-b² = (a+...)(a-...). Wat komt er op de puntjes te staan, dus wat wordt dan de ontbinding van (x+y)⁴-y⁴?

Ik zal eens uitwerken, maar normaal gezien werken wij zelf nooit uit. In de oefeningen die we maakten, deden we dit nooit, maar ik zal het nu eens proberen. Ok, bij het eerste krijg je:
4x² + 10x - 2x + 5 + 4
4x² + 8x + 9
2x ( 2x + 4) + 9

En dan gaat het toch niet meer verder? Of doe ik toch iets verkeerd?

Bij dat laatste dacht ik ook zoiets dat je dat merkwaardig product kreeg, maar toen ik het probeerde volgens de manier die we geleerd hebben kwam het niet uit.
(x² + y² + y²) (x² + y² - y²)
(x² + 2y²) (x²)
En dan zit ik weer vast... Achteraan m'n boek staat als oplossing x(x+2y)(x²+2y²+2xy)

Bij de uitwerking van (2x-1)(2x-5)+4 doe je inderdaad iets verkeerd. Je krijgt namelijk een term -10x in plaats van +10x. Ga dit na en werk (2x-1)(2x-5)+4 vervolgens verder uit.
Laat (x+y)² eens staan (dit is overigens geen x²+y², tenzij x = 0 of y = 0) en werk zo de ontbinding van (x+y)⁴-y⁴ verder uit.

Bij dat eerste heb ik het gevonden! Je krijgt 4x² - 12x + 9 en dat is natuurlijk gelijk aan (2x-3)². Wel eigenaardig dat we nooit zo'n oefening gemaakt hebben. Ga ik onthouden voor moest er zo eentje tussen zitten op het examen waarbij je niet bij alle termen een gemeenschappelijke factor hebt.

En wat bedoel je met laat (x+y)² eens staan? ((x+y)² + y²) * ((x+y)² - y²)? Maar dat klopt niet denk ik...

Jawel hoor, dit klopt. Werk nu de factoren (x+y)²+y² en (x+y)²-y² verder uit, dan zie je vanzelf hoe de uiteindelijke ontbinding er uit komt te zien. Let er op dat je bij de uitwerking van (x+y)² niet alleen de kwadraten van x en y, maar ook het dubbele product van x en y krijgt. Dit zou je overigens moeten weten als het goed is.

Uhmmm bij de eerste vraag uit je openingspost moest je ook eerst alles uitwerken en vereenvoudigen voordat je kan ontbinden.

Neen, leerkracht had me uitgelegd hoe ik het anders kon doen, uitwerken was daar niet nodig...
Ok klopt het dat ik dan (x²+2xy+y²+y²)(x-y+y)(x-y-y) krijg?

De factor x²+2xy+y²+y² is correct. Merk op dat je y²+y² kunt samennemen. Bedenk dat (x+y)² en y² kwadraten zijn. Je hebt dus iets van de vorm a²-b² = (a+...)(a-...). Wat komt er op de puntjes te staan, dus wat wordt dan de ontbinding van (x+y)²-y²? Wat levert dit op als je deze ontbinding verder uitwerkt? Wat wordt dus de uiteindelijke ontbinding van (x+y)⁴-y⁴?

Ok, ik ben er bijna denk ik... (x²+2xy+2y²)(x+2y)(x)? Dat komt overeen met de oplossing van in m'n boek!
Ik hoop dat deze nog opgelost raakt, want heb morgen examen :p

Zo klopt het inderdaad. Om de factor x hoeven verder geen haakjes te staan, omdat het duidelijk is dat het hier om een vermenigvuldiging gaat. Succes met je examen morgen.

Dank je voor de hulp!

Graag gedaan.:)