FF een paar wiskunde-vraagjes
 

Ok, ff een paar wiskunde vraagjes, over oppervlakte & inhoud (nie echt mijn sterkste punt bij wiskunde) waar ik ECHT nie uit kom :o :

* Van een kegel is de oppervlakte van de kegelmantel 2x zo groot als de oppervlakte van de grondcirkel
a) Bereken de tophoek van de kegel.

* Gegeven zijn een kegel en een cilinder met gelijke "r"(straal) en "h" (hoogte). Bovendien is "h=2r". Bereken de verhouding van de oppervlakten van de mantels van de kegel en de cilinder.

>> 2 andere vragen heb ik op mijn site gezet, vanwege de plaatjes (geocities linkt geen plaatjes ofzo naar het forum..vandaar)) <<


Mijn dank is super groot!!! :) :)

oppervlakte grondcirkel kegel: pi*R*R
oppervlakte kegelmantel: 2*pi *R*H

2*oppervlakte grondcirkel kegel = oppervlakte kegelmantel
2*pi*R*R = 2*pi *R*H
R=H

dus de mantel is een driehoek waarbij geld r = h

tophoek is dus 90 graden, teken het maar uit

Dit heeft betrekking op de kegel.
Laat r de straal en h de hoogte van de kegel zijn en a de halve tophoek. Dan wordt de oppervlakte van de kegelmantel gegeven door de formule O=pi*r*A
met apothema A=sqrt(r^2+h^2). Voor de halve tophoek a geldt:
tan(a)=r/h. Omdat het verband tussen de oppervlakte van de grondcirkel en de kegelmantel bekend is kun je h uitdrukken in r en dit invullen in de formule tan(a)=r/h. Omdat a dan bekend is, is de tophoek 2*a dan ook bekend.

Dit heeft betrekking op de kegel en de cilinder. De oppervlakte van de cilindermantel is 2*pi*r*h. Omdat het verband tussen r en h bekend is en omdat de oppervlakteformule van de kegelmantel in het voorgaande is gegeven kun je dus de verhouding tussen de oppervlakten van de cilinder- en de kegelmantel afleiden.

Dit heeft betrekking op de afgeknotte kegel.
Laat R de straal van het grondvlak zijn en r de straal van het bovenvlak en h de hoogte, dan is het apothema A gelijk aan sqrt((R-r)^2+h^2). Er is gegeven: R=5 cm en r=2 cm en A=6cm, dus er geldt: sqrt(9+h^2)=6, dus 9+h^2=36, dus h^2=27, dus h=sqrt(27)=3*sqrt(3) cm. Als je de uitslag van de mantel met het bovenaanzicht vergelijkt dan ligt A rechtsboven, D linksboven, C linksonder en B rechtsonder op de uitslag van de mantel. Door M als het midden van BC te kiezen kun je de lengten van de cirkelbogen AB en CD vinden.

Dit heeft betrekking op driehoek ABT. Omdat deze driehoek gelijkbenig is moet gelden: AT=BT. Trek op een hoogte r van AB het lijnstuk DE. Laat F het snijpunt van de hoogtelijn uit T met AB zijn en G het snijpunt van de hoogtelijn uit T met DE.
In driehoek AFT geldt volgens Pythagoras: AT^2=AF^2+FT^2=5^2+12^2=25+144=169, dus AF=sqrt(169)=13. Als s de halve omtrek van de driehoek voorstelt en O de oppervlakte, dan is de straal r van de ingeschreven cirkel gelijk aan O/s. Omdat de driehoeken ABT en DET gelijkvormig zijn geldt er: AB/DE=AT/DT=BT/ET. Tevens geldt: GT/DG=FT/AF=5/13. Omdat GT in r kan worden uitgedrukt is de gevraagde relatie in r daarmee af te leiden.

In het antwoordenboekje staat 60 graden .... :confused: En ik btw het "Tip"-gedeelte ontdekt (daar geven ze allemaal tips en hints hoe je een som moet oplossen). Bij deze som stond er :


Je weet dus 2 *pi * r^2 = pi* r * R.
Hieruit volgt R=......


*Nog meer confused*

En mathfreak: wat is een apothema? :)

-sozzy, kben helaas niet zo slim om dat te weten :o -

Wanneer
2 * pi * r^2 = pi * r * R
Herscrijven als
2 * pi * r * r = pi * r * R
pi * r * (2 * r) = pi * r * R
R = 2 * r

sim-pel :)

maar hoe komen ze dan aan 60 graden???

je hebt nu dus een rechthoekige driehoek waarvoor geld dat de ene rechthoekszijde 2 maal zo lang is als de andere rechthoekszijde. Nu moet je de hoek berekenen die tegenover de kleinste rechthoekszijde zit. dit doe je met behulp van de tangens.
tan(hoek) = r/2r = 2
hoek = 30
de halve tophoek = 30
tophoek = 60

Zoals je misschien weet kan een kegel worden opgevat als een rechthoekige driehoek met basis r en hoogte h die bij wenteling om h in een kegel overgaat. Het apothema is in feite de schuine zijde van de rechthoekige driehoek die volgens Pythagoras de lengte sqrt(r^2+h^2) heeft.
Volledigheidshalve moet ik opmerken dat Passiepascal wel de juiste waarde voor de tophoek geeft, maar een verkeerde waarde voor de tangens van de halve tophoek. De tangens van 30° is namelijk sqrt(3)/3 en niet 1/2. Het is de sinus van 30° die de waarde 1/2 heeft. Volledigheidshalve geef ik even de volledige uitwerking.
De grondcirkel heeft een oppervlakte pi*r^2 en de mantel heeft een oppervlakte pi*r*sqrt(r^2+h^2) die gelijk is aan 2*pi*r^2. Er geldt dus: sqrt(r^2+h^2)=2*r. Kwadrateren levert: r^2+h^2=4*r^2, dus h^2=3*r^2, dus h=sqrt(3*r^2)=r*sqrt(3).
Voor de halve tophoek a geldt: tan(a)=r/h=r/(r*sqrt(3))=1/sqrt(3)
=sqrt(3)/3, dus a=30° zodat de tophoek 2*30°=60° bedraagt.