[WI]kansen
 

Opgave:

6 dozen zijn genummerd: 0,20,40,60,80,100. Elke doos bevat een aantal nieuwe CD-roms. Het nummer op elke doos komt overeen met het percentage defecte CD-roms in de doos.

Stel dat je op toevallige wijze, met gelijke kansen, een doos kiest. Vervolgens kies je met teruglegging 3 CD-roms uit de doos, waarvan 1 defect blijkt te zijn.

Gegeven deze waarneming: bepaal voor elke doos de kans dat deze gekozen was.

ik probeer.

kans dat doos 0 is gekozen is nul.. want die heeft alleen maar goede cds
kans dat doos 100 is gekozen is nul..want die heeft alleen maar defecte cds

elke (overgebleven doos) heeft dus een kans van 1/4

doos 20
kans op 1 defecte= 3ncr1*0.2*0.8*0.8=0,384
kans doos 20=(1/4)*0,384=0,096

doos 40
kans op 1 defecte= 3ncr1*0,4*0,6*0,6=0,432
kans doos 40=(1/4)*0,432=0,108

doos 60
kans op 1 defecte= 3ncr1*0,6*0,4*0,4=0,288
kans doos 60(1/4)*0,288=0.072

doos 80
kans op 1 defecte is 3ncr1*0,8*0,2*0,2=0.096
kans doos 80=(1/4)*0.096=0.024

Dat klopt helaas niet, want de kansen bij elkaar opgeteld moeten 1 zijn..

kan je de antwoorden posten?

Volgens mij (alhoewel ik geen ster ben in kansrekening), zijn de kansen per doos goed. Als je nu de kans wil uitrekenen dat je een bepaalde doos te pakken had. Deel je elk antwoord van Global, nog eens door alle antwoorden bijelkaar opgeteld. Dan kom je wel op 1 uit.

Noem de kans op een defect in een gegeven doos p. (dus p=0,0.2, enz).

De kans op k fout in een doos is dan Binomiaal verdeeld met parameters n=3; p.

De kans P(X=k) (dwz: k foute cdroms) wordt bij n trekkingen per definitie gegeven door:
(n over k) p^k (1-p)^n-k

In ons geval dus 3p(1-p)^2=3p^3-6p^2+3p

Nu kun je voor elke doos de kans op 1 fout bij 3 trekkingen berekenen door simpelweg p in te vullen. Voor p=0 en p=1 komt die kans netjes op nul uit. Voor p=0.2: 0.384 enz

Als laatste stap zou ik de kansen normaliseren (delen door de som van alle kansen) zodat de som 1 wordt. Of dat helemaal klopt weet ik niet zo, tis alweer een tijdje geleden :p

hm ben redelijk blind dat antwoord stond er al :|

nouja mijn oplossing is algemener :D

Hier is het volledige antwoord, afkomstig van een ander forum:

-------------------------------------------------------------------------

Stel dat de gebeurtenis A de kans is op het trekken van 2 goede en 1 defecte CD (A is dan de vereniging van de gebeurtenissen GGD, GDG en DGG).

Stel dat Dx de kans is dat ik doos x getrokken heb (met x% foute CD's).

Wat je wilt weten is de kans P(Dx|A) maar die kans kun je niet direct berekenen. De omgekeerde kans P(A|Dx) echter wel die zijn nl P(A|Dx)=3x(1-x)² (deze uitfrukking is een gevolg van de trekking met teruglegging, als er geen teruglegging is wordt hij anders).

Met de formule van Bayes kan hieruit de omgekeerde kans worden bepaald: P(Dx|A)=P(A|Dx)P(Dx)/P(A). Dit volgt uit de definitie van voorwaardelijke kans.
P(A) kan worden berekend door middel van P(A)=som{P(A|Dx)P(Dx)} mits je aanneemt dat de a priori kansen P(Dx)=1/6 zijn (er wordt gesommeerd over alle dozen).

Omdat in dit geval alle kansen P(Dx) gelijk zijn is de berekening vrij eenvoudig .De uitkomst is:
P(D0|A)=0
P(D20|A)=0.32
P(D40|A)=0.36
P(D60|A)=0.24
P(D80|A)=0.08
P(D100|A)=0

oh:D had ik hem bijna goed

optimist ;)

Hoezo?

Het klopt toch precies, alleen heeft hij de kansen nog niet genormaliseerd, wat ik ookal voorstelde in mn eerdere reactie. De kansen van Global bijelkaar opgeteld zijn 0,3. Als je elk antwoord van hem door dit getal deelt krijg je exact dezelfde antwoorden. Dus ja...bijna goed :)

Global zei:

elke (overgebleven doos) heeft dus een kans van 1/4

-------------------------------------------------------------------------
Hij ging dus uit van een kans van 1/4 dat een doos gekozen wordt, en dat doos 0 en 100 kans 0 hebben gekozen te worden, terwijl elke doos in principe 1/6 kans heeft gekozen te worden.

P(A)=0,2 en niet 0,3 als gevolg

Dus het antwoord is verre van perfect. Anyway, ik had hem ook fout dus no offence guys :)

De hierboven gevonden kansen 0.384,..,0.096 tellen op tot 1.2. 0.384/1.2=0.32. Enz.

De eerder gegeven antwoorden waren dus goed, er zijn vele wegen die naar Rome leiden. Bayes' regel vind ik irritant en ik maak er altijd fouten mee, dus doe ik het anders..

hey joh :D die van mij is gewoon bijna goed alleen jij snapt hem weer niet ;)

Bijna=niet :)

ok wat jij wilt :D