[WI] Keerpunten berkenen
 

Kan iemand me helpen met de volgende som?

Gegeven is de parametervoorstelling:
x=8cos4t
y=5sin3t
met domein [0,2pi]

Geef de coordinaten van de keerpunten en de bereken de bijbehorende waarden van t.


Ik weet uberhaupt niet hoe je keerpunten moet berekenen..

Alvast bedankt!

in de keerpunten is de snelheid van de beweging nul en gaat deze in tegengestelde beweging verder. De beweging keer dus om.

v(t) = sqrt { [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 }

x'(t) = -32 sin(4t) en y'(t) = 15 cos(3t)

x' en y' moeten 0 zijn

-32 sin(4t) = 0 dus 4t = k * pi dus dus t = k * 1/4 pi

15 cos(3t) = 0 dus 3t = 1/2 pi + k * 2pi en 3t = -1/2 pi + k*2pi

t = 1/6 pi + k * 4/6 pi en t = -1/6 pi + k * 4/6 pi

voor x' geldt dat deze op t = 1/4,1/2,3/4,1,5/4,6/4,7/4,2 pi 0 is en voor y' op t = 1/6,3/6,5/6,7/6,9/6,11/6 pi 0 is

dus op t = 0,5 pi en t = 1,5 pi is de snelheid 0.

nog even controleren of de weg omkeert en dan zul je zien dat dit idd 2 t-waarden zijn van de keerpunten zijn

Je hebt keerputen wanneer y'(t)=x'(t)=0

x=8cos4t
y=5sin3t

dus:
dx/dt = -32sin4t = 0
sin 4t = 0
4t = 0 + k(pi)
t = k(pi)/4
[0,2(pi)]
0, (pi)/4, (pi)/2, 3(pi)/4, (pi), 5(pi)/4, 3(pi)/2, 7(pi)/4, 2(pi),


dy/dt = 15cos3t = 0
cos 3t = 0
3t = (pi)/2 + k(pi)
t = (pi)/6 + k(pi)/3
[0,2(pi)]
(pi)/6, (pi)/2, 5(pi)/6, 7(pi)/6, 3(pi)/2, 11(pi)/6

duskeerpunten bij t=(pi)/2 en t=3(pi)/2

coordinaten:
t=(pi)/2
x=8cos4t=8
y=5sin3t=-5

t=3(pi)/2
x=8cos4t=8
y=5sin3t=5

komt dit overeen met wat je op je GR ziet?

inderdaad, was er niet helemaal bij, ((pi)/2)/3 = 2(pi)/3 klopt niet echt he


maar ik heb het al verbeterd

ok, super, bedankt!

moet je ook nog even kijken of de weg op deze punten tegelijkertijd omkeert.

op t = 0,5 pi em 1,5 pi hebben beide functies een extreme waarde waarbij de weg omkeert.

--> conclusie: een keerpunt