dubbele integraal???
 

een integraal ken ik nu wel, een bepaalde integraal is grafisch gezien het oppervlak onder een functie(=lijn), maar wat is nou een DUBBELE integraal, hoe moet ik me dit voorstellen, en wat kan ik ermee...........???

alvast bedankt



PS: nuttige links zijn ook welkom...

Het komt er in het kort hier op neer:

De meest eenvoudige toepassing van een Riemann-intergraal was oppervlakte bepaling onder de grafiek van een functie f.
In analogie hiermee kunnen we met een dubbele Riemann-intergraal de inhoud berekenen onder de grafiek, i.e. een oppervlak, van een functie f.

Kijk voor de theorie over meervoudige integralen maar eens op http://www.calculus.net/ci2/search/?...=9200438920658

en bij een drievoudige integraal is niks voor te stellen :p

Ligt aan de integraal. Als er in een drievoudige integraal geen integrand staat is de integraal ook te schrijven als een tweevoudige integraal.

wat wil je dan integreren zonder integrand? :confused:

De infinitesimale variabele?

Voor zover ik weet is het laatste 'stuk' van de integraal (bijvoorbeeld dx) geen deel van de integrand.

Tenzij je aan het kommaneuken bent natuurlijk, en in dat geval bedoel ik dat de integrand gelijk is aan 1.

In bijvoorbeeld de theorie over elektrische en magnetische velden (elektrostatica en -dynamica) komen erg veel dubbele en drievoudige integralen voor. O.a. om het elektrisch/magnetisch veld te bepalen door een oppervlakte- of volumelading/-stroom.

Een drievoudige integraal over bijvoorbeeld een dichtheidsverdeling, geeft de totale massa. Een integraal over een ladingsverdeling geeft de totale lading.

Maar ook integralen over vectoren, of zelfs tensoren bestaan. Je integreert dan apart over iedere component.

Drievoudige integralen (ook wel volume integralen) en dubbele integralen (ook wel oppervlakte integralen) kunnen in elkaar over gaan door o.a. de Wet van Gauss en de Wet van Stokes.

In quantum velden theorie integreer je weer vaak te maken met viervoudige integralen, waarbij je integreert over energie en momentum. Om het nog gekker te maken; bij stringtheorie kan je zelfs te maken hebben met 26-voudige (!) integralen.

Even voor diegene, die pas in een paar maand vectorcalculus krijgt, zijn 26-voudige integralen op te lossen?

Meervoudige intergralen zijn oplosbaar net zoals je in theorie ook kunt blijven afleiden, voor een groot aantal functies zal dit weinig zinvol zijn, maar sin x bvb, of e^x kun je in principe blijven afleiden of integreren.
In praktijk zijn het, zeker voor de string theorie neem ik aan, gewoonlijk complexere integralen natuurlijk.

Men spreekt vanaf dimensie 4 ook wel van hyperinhoud, als ik me niet vergis (na oppervlakte voor dim 2 en inhoud/volume voor dim 3)

Jah..voor een variabele is mij dat duidelijk. Zoals e^x :p . Maar om nu een functie van 26 variabelen zo ff te integreren...achja.. dat zag ik zo snel niet zitten :)

ja, als je partieel kan differentieren

Bij meervoudige integratie gaat het juist om integratie over meerdere variabelen. Dus niet 3 keer integeren over x, maar integeren over x, y en z.

Integeren over de functie x, een constante of over (x^y)^z leveren dus allemaal een primitieve (en niet per se alleen functies als e^x), doordat je maar 1 keer integreert over de variabele x.

In het Nederlands beter bekend als impuls, en in Wie zit er op Einsteins stoel? van Ed Regis helaas fout vertaald als moment.
In dat boek wordt het woord quaker (wat onvertaald had moeten blijven) overigens vertaald als kwaker, zodat ik, iedere keer als ik dat woord lees, onwillekeurig aan een kikker moet denken... :D

Meestal zitten er ook variabelen in de integratiegrenzen, die dan voor de onderliggende integraal constant beschouwd worden.

Ik weet niet of ik dit nu helemaal goed verwoord, maar je zult er zelf wel achter komen denk ik.

Edit: hier heb ik een voorbeeldje van Google geplukt van een drievoudige integraal:

http://www2.msstate.edu/~ta38/teachi...mfin/img45.gif