nulpunten
 

hoe vind ik de nulpntn van 6x^4-8x³+1=0

en van x³-3x=0

x^3-3*x = 0

<=> x*(x^2-3) = 0
<=> x=0 of x=-sqrt(3) of x=sqrt(3)

6*x^4-8*x^3+1=0

Ik kan dit niet op zicht ontbinden (Gebruik een exacte formule : Descartes of ga numeriek benaderen).

Heb je geen GR, gewoon plotten en vervolgens een lijn op 0 teken en dan de snijpunten opvragen. Of via een polynomial een 3e graadsfunctie oplossen? Maar je zal de berekening wel nodig hebben. Maar ik heb nu ff geen tijd om het uittrekenen.

en van 2x³-6x+4 ?

Plotten

De som van de coëfficiënten is nul, dus de functie bezit de deler (x-1).

2*x^3-6*x+4 = (x-1)*(2*x^2+2*x-4)

De som van de coëfficiënten van de kwadratische factor is eveneens nul, dus ze bezit nog een deler : (x-1).

Dus : 2*x^3-6*x+4 = (x-1) * (x-1) * (x+2) = 0

De oplossingen zijn : x=1 of x=-2

(Zonder plotten of veel rekenen.)

Als je voor x de waarde 1 kiest krijg je 2-6+4=-4+4=0. Dit betekent dat
x-1 een factor is van 2*x^3-6*x+4, dus er geldt:
2*x^3-6*x+4=(x-1)(2*x^2+a*x+b). Werken we dit uit, dan krijgen we: 2*x^3+(a-2)*x^2+(b-a)*x-b. Dat betekent dat moet gelden: a-2=0, dus a=2, b-a=-6 en b=-4. Er geldt inderdaad dat b-a=-4 -2 =-6, dus de waarden voor a en b zijn correct. We hebben dus gevonden:
(x-1)(2*x^2+2*x-4)=0, dus x-1=0 of 2*x^2+2*x-4=0 ofwel x-1=0 of x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0. We zien dat x=1 een tweevoudig nulpunt is en dat x=-2 een enkelvoudig nulpunt is, dus 2*x^3-6*x+4=0 heeft x=1 en x=-2 als nulpunten.