[WIb] Kansrekenen
 

Ik heb even twee vraagjes over kansrekeken waar ik niet uit kom :) Ik hoop dat hier iemand me kan helpen.

1. In een fabriek van beeldbuizen verzonden machines I, II en III de gehele productie. Het aandeel van deze drie machines in de productie is achtereenvolgens 55%, 30% en 15%. Per machine is het aantal defecte beeldbuizen achtereenvolgens 1%, 2% en 3%.
Er wordt willekeurig een beeldbuis gekozen. Deze blijkt defect te zijn. Bereken de kans dat de gekozen defecte buis door machine III is gefabriceerd.


2. Om na te gaan of iemand een infectie met tuberculose heeft gehad, wordt een huidstest gebruikt. Uit ervaring is bekend dat va nde personen die TBC hebben 98% positief reageert op de test (dat wil zeggen dat het testresultaat de aanwezigheid van TBC bevestigt) en de overige 2% reageert negatief. Van personen die geen TBC hebben, vertoont 1% toch een positieve reactie bijde test. Van een groep van 10.000 personen, waarvan er twee aan TBC lijden, ondergaat iedereen de huidtest.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat iemand die positief reageert op de test ook werkelijk TBC heeft.

Als het kan ook met uitleg erbij, want het antwoord staat ook wel in het antwoordenboekje, dus daar heb ik eigenlijk niks aan :)

In ieder geval bedankt :)

1:

de kans dat de beeldbuis door machine 3 is gemaakt is 15% of 0,15. De kans dat hij dan fout is gemaakt is dan 3% of 0,03

--> de kans dat machine 3 deze fout beeldbuis heeft gemaakt is dan 0,15 * 0,03 = 0,0045 of 0,45 %

(1e trekking is machinenummer, 2e trekking is kapot/goed en dan kansboomregels toepassen)

2:

Definieer eerst 2 gebeurtenissen:

A= persoon heeft TBC
B=test geeft positief resultaat

Gegevens:
P(B l A)=0,98
P(B l A^c)=0,01
P(A)=2 /10.000

Gevraagd: P(A l B)

Oplossing: P(A l B) = P(B l A)*P(A) / P(B)

hier is P(B)=P(B l A)*P(A) + P(B l A^c)* P(A^c)

en voor P(A^c)=1 - P(A)

1:

Definieer eerst 2 gebeurtenissen:

A= machine 3 is gekozen
B= beeldbuis is defect


Oplossing: P(A l B) = P(B l A)*P(A) / P(B)

P(B) = 0,55*0,01+0,30*0,02+0,15*0,03=0,016

P(B l A)=0,03

P(A)=0,15


-->P(A l B)= 0,03 * 0,15 / 0,016 = 0,28125 dus 28%

Deze uitwerking is niet goed; je moet namelijk werken met voorwaardelijke kansen, zoals snookdogg85 heeft gedaan (De vraag is in het kort: 'Je weet dat de buis kapot is. Hoe groot is dan de kans dat hij van machine 3 komt'? Jij hebt de vraag beantwoord: 'hoe groot is de kans dat een willekeurige beeldbuis van machine 3 komt EN ook nog kapot is'.)

2. Om na te gaan of iemand een infectie met tuberculose heeft gehad, wordt een huidstest gebruikt. Uit ervaring is bekend dat va nde personen die TBC hebben 98% positief reageert op de test (dat wil zeggen dat het testresultaat de aanwezigheid van TBC bevestigt) en de overige 2% reageert negatief. Van personen die geen TBC hebben, vertoont 1% toch een positieve reactie bijde test. Van een groep van 10.000 personen, waarvan er twee aan TBC lijden, ondergaat iedereen de huidtest.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat iemand die positief reageert op de test ook werkelijk TBC heeft.
A:=[persoon reageert positief]
B:=[persoon heeft TBC]
gevraagd: de kans dat B optreedt, gegeven dat A optreedt:
P( B | A )=P(A l B)*P(B) / P(A)
P(A | B)=0,98 (gegeven)
P(A)=0.01*9998/10000+0,98*2/10000 (er zijn 9998 personen zonder TBC, hiervan vertoont 1% een positieve uitslag, van de 2 personen met TBC reageert 98% positief).
P(B)=2/10000 (2 van de 10000 mensen heeft TBC).
Nu is het gewoon invullen:
P(B | A)=0,98*(2/10000)/(0,01*9998/10000+0,98*2/10000)=98/5097 (ongeveer 1,92%).
Dit lijkt weinig, maar als je goed kijkt klopt het wel (verwachting van aantal positief getesten dat geen TBC heeft, is bijna 100, terwijl er maar 2 zijn die het wel echt hebben)