primitieve
 

Hoe bepaal je de primitieve van

sin²(x)*cos²(x) ?

mm ik denk dat je dit moet gebruiken..

sin2x=2sinx*cosx
sin2x=2sinx*cosx
4*sin²x*cos²x=sin²(2x)
dus
sin²x*cos²x=sin²(2x)/4

Hoe bepaal je de intregraal van sin²(2x)/4 dan?

laten we anders doen..


sin²a*cos²a=sin²a(1-sin²a)=sin²a-sin^4a
je weet dat cos2a=1-2sin²a
dus
sin²a=1/2(1-cos2a)
en je kunt nagaan dat
sin^4a=3/8-cos(2a)/2+cos(4x)/8
dus
sin²a-sin^4a=1/2-1/cos(2a)/2-3/8+cos(2a)/2-cos(4x)/8

en nu is het een stukje makkeljiker..
trouwens...

sin^4a=3/8-cos(2a)/2+cos(4x)/8
weet je hoe je deze moet vinden?
complexe getalle... heb je waarschijnlijk niet..
maar je gebruikt vooral
cos2x=1-2sin²x
en sin^4=(1-cos2x)²/4
en cos4x=2cos2x-1

een goeie combinatie levert het antwoord..

sin²x*cos²x=sin²x*(1-sin²x)=sin²x-sin⁴x

Je kunt dus apart de primitieve van sin²x en sin⁴x uitrekenen

primitieve van sin²x=1/2(x-sinxcosx)=1/2x-1/2*sinxcosx
primitieve van sinⁿx=1/n*sin^n-1xcosx+(n-1)/n*int(sin^n-2xdx).
omdat n-2 in het geval van 4 gelijk is aan 2, staat er dus
1/4*sin³xcosx+3/4*1/2(x-sinxcosx)=
1/4*sin³xcosx+3/8x-3/8sinxcosx.

Voor de totale functie geldt dan int(sin²x*cos²xdx)=int(sin²x-sin⁴xdx)=int(sin²xdx)-int(sin⁴xdx)=(1/2x-1/2*sinxcosx)-1/4*sin³xcosx+3/8x-3/8sinxcosx=1/8x-1/8sinxcosx-1/4*sin³xcosx.

Of dit hetzelfde is als wat anderen hebben uitgerekend, moet je zelf maar even nakijken :)

Volgens mij gaat ie zo nog wat makkelijker...

sin²(2x)/4 = (1/2-1/2Cos[4x])/4 = 1/8 - Cos[4x]/8

Er geldt: cos(2*x)=cos²(x)-sin²(x)=2*cos²(x)-1=1-2*sin²(x),
dus sin²(x)=1/2-1/2*cos(2*x) en cos²(x)=1/2+1/2*cos(2*x),
dus sin²(x)*cos²(x)=(1/2-1/2*cos(2*x))(1/2+1/2*cos(2*x))
=1/4-1/4*cos²(2*x)=1/4-1/4(1/2+1/2*cos(4*x))=1/8-1/8*cos(4*x). Dit geeft 1/8*x-1/32*sin(4*x) als de gevraagde primitieve.