[WI] Goniometrische primitieve
 

Hey

Ik loop vast bij de volgende opgave:

a.Geef een primitieve van tan^2(x).
Het moet iets van tan(x) worden ik weet alleen niet hoe ik ergens aan kom wat er bij moet.

Dank.

Tan[x]^2 =
(Sin[x]^2)/(Cos[x]^2) =
(1 - Cos[x]^2)/(Cos[x]^2) =
-1 + 1/(Cos[x]^2)

Integeren levert:
-x + Tan[x]

Er even vanuit gaande dat je weet dat 1/(Cos[x]^2) de afgeleide van Tan[x] is.

Dat de afgeleide van tan(x) gelijk is aan 1/(cos(x)²) is eenvoudig aan te tonen:
tan(x)=sin(x)/cos(x)
quotientregel toepassen:
d/dx[sin(x)/cos(x)]=(cos(x)*[sin(x)]'-sin(x)*[cos(x)]')/(cos(x)²)
= (cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x)))/(cos(x)²)
=(cos(x)²+sin(x)²)/(cos(x)²)
=1/(cos(x)²)

Je kunt ook zeggen, de afgeleide van tan x = tan² x +1

tan² x = afgeleide (tan x) - 1

Intergreren levert dan op

tan x - x



maar het kan natuurlijk niet altijd zo mooi :o