integraal van cos
 

hehe :)

niet van cos(x) natuurlijk maar wel van cos(1/x)dx
die is wel een hoop moeilijker me dunkt

ik heb maar even heel lomp gesubstitueerd:
x=1/arccos(u)
dx=-du/sqrt(1-u²)
levert Int(-u*du/sqrt(1-u²))
substitueer u=sin(y)
du=cos(y)*dy
Int(-sin(y)*cosy*dy/(sqrt(1-sin(y)²))=
Int(-sin(y)*dy)=cos(y)
y=arccos(u)
u=cos(1/x)
cos(y)=cos(arcsin(u))=cos(arcsin(cos(1/x)))
hier is vast een mooiere uitdrukking voor, maar het is een primitieve :)

mooi die (y)

edit: ow laat maar:D

Dit klopt niet. Er geldt namelijk: 1/arccos(u)=(arccos(u))^-1,
dus dx=d((arccos(u))^-1)=-(arccos(u))^-2*du/sqrt(1-u²)
=-du/(arccos²(u)*sqrt(1-u²)).
Ga er overigens maar van uit dat het niet mogelijk is om cos(1/x) te integreren met behulp van standaardintegralen. Waarschijnlijk heb je hier toch het gebruik van machtreekstechnieken nodig.

thx :)
komt nochthans voor in onze oefeningen maar is wrsch niet de bedoeling ze expliciet te berekenen. Ze moet bestaan

De integraal bestaat, want abs(cos(1/x)) =< 1 en de integraal van 1 bestaat. (majoratie)

Edit: dit geldt dan natuurlijk alleen in een interval zonder 0, want in 0 is cos(1/x) niet gedefinieerd. De limiet van x naar 0 bestaat ook niet, dus als je iets wil kunnen zeggen over x=0 zul je moeten gaan reeksontwikkelen.

In dat geval moet je nagaan of de integrand op een gegeven interval [a,b] in een uniform convergente reeks te ontwikkelen is. Als dat zo is, krijg je door termsgewijze integratie een uniform convergente reeks voor de integraal van a tot x van f(t)*dt.