Bepaling van sommen met behulp van Fourierreeksen
 

Hierbij wordt de stelling van Parseval gebruikt, maar hoe het precies zit is me niet duidelijk:

Gegeven is dat de som van n=2 tot oneindig van:

(-1)^n/((n-1)(n+1)) gelijk is aan 1/4.

Gegeven is de Fourierreeks van f(x)=x(1+cos x):

3/2 * sinx + 2 * S, waarbij:

S = de som van n = 2 tot oneindig van:

(-1)^n * sin (nx) / ((n-1)n(n+1)).

Bereken de som van n=2 tot oneindig van:

1/((n-1)²(n+1)²).

Laat ik volledigheidshalve de stelling van Parseval maar even vermelden:
Laat a_n en b_n de Fouriercoëfficiënten bij de functie f zijn en laat |f²| op het interval [0,T] (T is de periode) integreerbaar zijn, dan geldt dat deze integraal gelijk is aan 1/2*a₀² plus de som van a_n²+b_n², waarbij n loopt van 0 tot oneindig.

Uhh?

Zou je de benodigde berekening kunnen uitvoeren? Het gaat hier om het interval [-pi,pi).

trouwens.. heb je de oplossing voor f(x)=x op <-pi,pi> al gevonden? ......

heb je ook signalen en transformaties?? of analyse A?

ik ben net klaar met dat vak...heb nu lineaire pruttel voor quantum...

Ja. Vandaar ook dat ik die topic heb verwijderd. Overigens ging het natuurlijk om het interval [-pi,pi).

Het vak waarin dit behandeld wordt heet Approximatie in Functieruimten.

Het is vakantie hoor ;)

Maar goed, this is gonna be messy.
Stelling van Parseval zegt, dat als je f[x] als een fourierreeks kan schrijven:
http://mathworld.wolfram.com/p1img1132.gif
Dat er dan geldt:
http://mathworld.wolfram.com/p1img1142.gif

met in dit geval dus:
f[x] = x(1+cos[x])
a_n = 0 (k=0,1,2,...)
b₁ = 3/2
b_n = (-2)ⁿ/((n-1)n(n+1)) (n=2,3,4,...)

Uitwerken van het linkerlid:
1/pi*INT_-pi^pi x²(1+cos[x])² dx =
2/pi*INT₀^pi x²+x²cos[x]²+2x²cos[x] dx =
2/pi*INT₀^pi x²+x²/2+x²/2cos[2x]+2x²cos[x] dx =
2/pi*INT₀^pi 3/2 x²+1/2 x² cos[2x]+2x² cos[x] dx =

3 integralen; de eerste is simpel:
INT₀^pi 3/2 x² dx = pi³/2

De tweede is een stuk lastiger. Twee keer partieel integreren levert:
INT₀^pi 1/2 x² cos[2x] dx =
INT₀^pi 1/2 x² [1/2sin[2x]]' dx =
[1/4 x² sin[2x]]₀^pi - INT₀^pi 1/2 x sin[2x] dx =
[1/4 x² sin[2x]]₀^pi + INT₀^pi 1/2 x [1/2cos[2x]]' dx =
[1/4 x² sin[2x]]₀^pi + [1/4 x² cos[2x]]₀^pi - INT₀^pi 1/4 cos[2x] dx =
[1/4 x² sin[2x]]₀^pi + [1/4 x cos[2x]]₀^pi - [1/8 sin[2x]]₀^pi = pi/4 (alleen de cosinus-term heeft een bijdrage)

De derde integraal gaat net als de tweede. Weer twee keer partieel integreren:
INT₀^pi 2x² cos[x] dx =
[2x² sin[x]]₀^pi - INT₀^pi 4 x sin[x] dx =
[2x² sin[x]]₀^pi + [4 x cos[x]]₀^pi - INT₀^pi 4 cos[x] dx =
[2x² sin[x]]₀^pi + [4 x cos[x]]₀^pi - [4 sin[x]]₀^pi = -4pi

Tel het zooitje bij elkaar op, en vermenigvuldig met 2/pi:
1/pi*INT_-pi^pi x²(1+cos[x])² dx = 2/pi * (1/2*pi³ + 1/4 pi - 4pi) = pi² - 15/2

Goed, tot zover het linkerlid. Nu het rechterlid:
a_n² = 0
b₁² = 9/4
b_n² = 4/((n-1)²n²(n+1)²)

Je kan in principe dit nu gaan invullen. Je kan alleen al zien dat je nu als antwoord krijgt de som van 1/((n-1)²n²(n+1)²), en niet de gevraagde som. Je moet dus eerst wat gaan omschrijven. Ik gebruik een beetje aparte aanpak.

Wat je wil krijgen is iets in de richting van:
1/((n-1)²n²(n+1)²) = 1/((n-1)²(n+1)²) + "extra term"
Dus:
"extra term" = 1/((n-1)²n²(n+1)²) - 1/((n-1)²(n+1)²) =
(1-n²)/((n-1)²n²(n+1)²) =
(1-n)(1+n)/((n-1)²n²(n+1)²) =
-1/((n-1)n²(n+1))

Je ziet dat de gegeven som al bijna tevoorschijn komt. Een beetje meer herschrijven levert:
1/((n-1)n²(n+1)) =
1/n²(n²-1) =
1/(n²-1) - 1/n² =
1/((n-1)(n+1)) - 1/n²

Waardoor dus ook geldt:
b_n² = 4( 1/((n-1)²(n+1)²) - 1/((n-1)(n+1)) + 1/n²)

Vul nu de hele mikmak in, in de gelijkheid van Parseval:
9/4 + 4*SOM_n=2^inf {1/((n-1)²(n+1)²)-1/((n-1)(n+1))+1/n²} = pi² - 15/2
SOM_n=2^inf {1/((n-1)²(n+1)²)-1/((n-1)(n+1))+1/n²} = 1/4pi² - 39/16
SOM_n=2^inf {1/((n-1)²(n+1)²) } = 1/4pi² - 39/16 + SOM_n=2^inf {1/((n-1)(n+1)) - 1/n²}

Hmpf, kom ik dus op een verkeerde som uit, die niet gegeven is. Maar het valt vast te repareren. Eerst de tweede som, in het rechterlid. Deze lijkt op de beroemde som van 1/n². Er "mist" alleen een term, namelijk n =1. Die tel er ik daarom bij, en trek hem er weer af.
SOM_n=2^inf {1/n²} =
-1 + SOM_n=1^inf {1/n²} =
-1 +pi²/6
Ik ga er maar ff vanuit dat je deze som als gegeven mag zien...

Nu de andere. Je weet dat geldt:
SOM_n=2^inf {(-1)ⁿ/(n-1)(n+1)} = 1/(1*3) - 1/(2*4) + 1/(3*5) - 1/(4*6) + ... = 1/4
Het wordt een beetje frutsen nu:
SOM_n=2^inf {1/((n-1)(n+1))} = 1/(1*3) + 1/(2*4) + 1/(3*5) + 1/(4*6) + ...
De termen die verschillen bij de sommaties zijn dus de oneven termen (met even getallen) erin. Tel deze twee keer bij de gegeven som op, en je hebt de som die je wilt weten:
SOM_n=2^inf {1/((n-1)(n+1))} =
SOM_n=2^inf {(-1)ⁿ/(n-1)(n+1)} + 2*( 1/(2*4) + 1/(4*6) + 1/(6*8) + ... ) =
SOM_n=2^inf {(-1)ⁿ/(n-1)(n+1)} +1/2( 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... ) =
SOM_n=2^inf {(-1)ⁿ/(n-1)(n+1)} + 1/2*SOM_n=1^inf { 1/(n(n+1)) }

Pfff, komt niet veel verandering in. Mathematica geeft de tweede som als: SOM_n=1^inf { 1/(n(n+1)) } = 1, maar dat zie ik niet zo gauw. Aangezien ik ook nog wil eten, zie ik het maar weer als gegeven. (heb je nog wel iets aan deze uitwerking? ;)). Weer invullen dus:
SOM_n=2^inf {1/((n-1)(n+1))} = 1/4 + 1/2 = 3/4
Wat geeft:

SOM_n=2^inf {1/((n-1)²(n+1)²) } =
1/4pi² - 39/16 + SOM_n=2^inf {1/((n-1)(n+1)) - 1/n²} =
1/4pi² - 39/16 + 3/4 + 1 - 1/6pi² =
pi/12 - 11/16

Najah, geloof het of niet, het antwoord klopt (volgens mathematica). Alleen heb ik dus 2 sommen "extra" als gegeven genomen. Misschien dat bij het herschrijven van de b_n's het ook anders kan, waardoor je wel de in 1 keer de gegeven som krijgt. Ik weet het niet. Ik wil het ook niet meer weten eigenlijk. *vervloekt Fourierreeksen*

wazig..
maar in ieder geval. met behulp van de som van fracties te gebruiken, kun je di som ook berekenen.
mij werd verteld dat het (4pi²-33)/48 is

(4pi²-33)/48 = pi²/12-11/16
dus hetzelfde als wat ginny beweerde

f(x)=x(1+cosx) voor x in [-pi,pi],
geschreven in fourrierreeksen:

f(x)= a_o+Sum(n=1 tot oneindig) cos(nx)+b_osin(nx)

f is oneven dus a_n=0 voor elk n
b_n=1/pi INT^pi_-pi f(x)sin(nx)dx

omdat f(x) is oneven geldt dat
b_n=2/pi INT^pi₀ x(1+cosx)sin(nx)dx

er geldt dat b₁=3/2 en als n>=2 geldt er dat

b_n=(-1)ⁿ/((n-1)n(n+1))
die extra n in de noemer kan weg gedaan worden door differentieren.
f'(x)=1+cosx-xsinx=3/2 cosx +sum(n=2 tot oneindig) (-1)ⁿcos(nx)/((n-1)(n+1))

op interval [-pi,pi]

en mbv Parseval
als g(x)=Sum(n=1 tot oneindig) a_ncos(nx)+b_nsin(nx) dan geldt
Sum(n=1 tot oneindig)(a²_n+b²_n)=
1/pi INT^pi_-pig(x)²dx


deze pas je toe bij f'(x) en je krijgt dan
4/9 +Sum(n=2 tot oneindig) 1/((n-1)²(n+1)²)=INT^pi_-pi(1+cosx-xsinx)²dx

nu moet je nog integreren..ect..

http://mathworld.wolfram.com/p1img1142.gif
Deze staat niet letterlijk in mijn dictaat... -_-

Ik kom er zo wel uit, denk ik.

Niet? Weird... Gebruik dan ook een boek man! ;)

@ liner: die uitwerking is idd wat makkelijker. Hoef je tenminste niet te kutten met het herschrijven van die som...

dat is lelijke wiskunde!

Maar was wel een vraag bij m'n tentamen atoomfysica :(