[WI] Primitiveren
 

hoi.
ik kom vast te zitten bij de volgende 2 opgaves.

a. 1 integraalteken2 ( 2x*e^(x^2)) *dx

b. 0 integraalteken.5pi ( x*sinx) dx

Ik heb de klok horen luiden maar weet niet waar de klepel hangt: je moet iets met omgekeerde product-regel doen.
Uitleg is zeer gewenst.
Mvg Jaap

Makkie. De eerste kan met de substitutie u = x², du = 2x dx.

Dit levert de integraal van 1 tot 4 van e^u du.


De tweede kan met partieel integreren.

U = x, dV = sin x dx
dU = dx V = - cos x dx

Hierdoor gaat de integraal over in:

-x cos x van 0 tot 5pi + de integraal van cos x dx van 0 tot 5pi.

Dat substitueren gaat mij iets te snel. Kan je het ook anders uitleggen?
dU en dV snap ik niet.

partieel integreren: S u * dv = u * v - S v * du

de eerste kun je x^2 substitueren omdat je een factor 2x hebt.

--> noemen we x^2 = u --> du/dx = 2x dus dx = du / 2x

nu krijgen we dus S 2x * e^u * du/2x en dus houden we S e^u du over.

--> de primitieve wordt dan e^(x^2)

afgeleide levert, natuurlijk, weer 2x * e^(x^2) op

Het zegt me niets.
Volgens mij moeten wij het via partieel integreren doen:
[G*H]a totb - integraal a tot b G(x) *h(x) * dx
zegt dit jullie iets?!

Partieel integreren:

Integraal van U dV = UV - integraal VdU

In deze integraal: stel U = x en dV = sin x dx, daaruit volgt de rest.

Substitutie werkt als volgt: als de afgeleide van de factor die je substitueert een factor is van de integrand kun je subtitueren.

Bij jouw integrand, 2x*e^x² geldt dat 2x de afgeleide is van x². Dus kun je stellen dat u = x². In dat geval geldt du = 2x dx en gaat de integrand over in e^u. Wel moet je dan de grenzen aanpassen omdat u = x². Eerst gold x = 1 en x = 2 als grenzen. Die grenzen gaan dus over in u = 1² = 1 en u = 2² = 4.

Dit is inderdaad gelijk aan de integraal[a-b] (g(x)*H(x) dx) als je tenminste met H(x) een primitieve van h(x) bedoelt.
Ik schrijf hem zelf meestal als Int(f'(x)g(x)dx)=f(x)g(x)-Int(f(x)g'(x)dx)