Integraaltje
 

Is er een algemene manier om een integraal van de vorm (a-x^k)^n kan oplossen?

Hmm, voor zover ik weet alleen voor k = 1, of voor de vorm x^(k-1)*(a-x^k)^n

Oeps. ik kan weer erg goed lezen... Negeer het dan maar :p


Ja. Dat kan met de kettingregel:

u=(a-x^k)

f(u)=uⁿ
differentieren geeft:
df(u)/du=n*u^n-1

du/dx =0-k*x^k-1

df/dx = df/du*du/dx = n*u^n-1*-k*x^k-1
=n*(a-x^k)^(n-1)*-k*x^k-1
=-k*n*(a-x^k)^(n-1)*x^k-1

Integreren hè. :)

wat je wel kunt zeggen is:
(a-x^k)ⁿ=
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k*a^k).
Binomium van Newton!

Als je deze dan primitiveert, dan krijg je:
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k+1*a^k/(k+1)).

Ik zie alleen niet zo snel hoe je deze weer terug kunt schrijven in een "mooie vorm". Naast het feit dat hij alleen sommeerbaar is voor |x|<1, dus begin ik te twijfelen of ik niet gezondigd heb door deze som zomaar te primitiveren (zoals mijn analyse-docent zou zeggen).

Dat doe ik zo vaak fout (ook op tentamens :bloos:

Je moet bewijzen dat er voldaan wordt aan de D-stelling... Iets waar ik op dit moment zeker geen zin in heb.

Hehe, dat had ik zelf ook al niet :)
Maar een andere mogelijkheid om de integraal te veralgemeniseren (is dat een woord?), zag ik niet, dus ik waagde het er maar op.

Je uitwerking van de binomiaalformules klopt niet. Uitschrijven van (a-x^k)ⁿ geeft namelijk: (a-x^k)ⁿ=Som(k=0..n)[c(n,k)*(-1)^k*a^k*x^n-k], waarbij c(n,k) de binomiaalcoëfficiënt n boven k voorstelt. Integreren hiervan geeft Som(k=0..n)[c(n,k)/(n-k+1)*(-1)^k*a^k*x^n-k+1] als de gevraagde integraal.

dat heet generaliseren volgens mij :)

Of de wiskundigen moeten weer eigenwijs zijn geweest en een eigen woord bedacht hebben :)

'Algemene oplossing' of 'standaardoplossing'.

En nu een werkwoord van maken :)

standaardiseren bestaat volgens mij ook

Standaardiseren betekent meestal in een bepaalde context iets heel anders. Veralgemeniseren lijkt mij de beste keuze, prachtzinnen als 'without loss of generality' in acht genomen ;)

"Veralgemenen"

standaardiseren bestaat inderdaad. In de statistiek gebruik je de formule Z = (X - mu) / sigma om een verdeling de standaard normaal curve te laten benaderen.

Ik vind generaliseren toch wel het mooist

Ja ik weet dat het eigenlijk iets anders betekent, maar das bij zoveel woorden.

Veralgemeniseren...

Ja, hou eens op met generaliseren :nono: