[DV] hoe op te lossen?
 

Hoe kan je een DV oplossen? Wat is precies het doel waar je naar toe werkt. Ik snap er namelijk helemaal niets van.
Hoe los je bijvoorbeeld dy/dt + 2y=3t+1 op? En wanneer gebruik je welke standaardoplossing (sin, e, etc)

De meeste DV's zijn helemaal niet (exact) op te lossen, dus het is volledig afhankelijk van de vorm van de DV.

In de vergelijking die je noemt heb je de homogene vergelijking:

dy/dt = -2y
Met als oplossing y = A exp(-2t)
En de particuliere oplossing wordt gegeven door:
y = (3/2)*t - 1/4

Dus de 'hele' oplossing is A*exp(-2t) + (3/2)*t - 1/4

Voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen bestaat inderdaad geen standaardrecept. Voor enkele vormen zijn wel wat methodes gevonden, maar dit is maar een klein gedeelte van alle DV.

Ja, maar hoe kom je precies aan die waarden dan? Hoe bereken je de homogene/particuliere oplossing?

Nog een andere:
xy'+y=2x
Graag met zoveel mogelijk tussenstappen/uitleg

Een eerste orde DV met constante coëfficiënten en een bronterm dat een eerstegraads polynoom is, heeft altijd als particuliere oplossing ook een eerstegraads polynoom. Kwestie van invullen dan, en de waarden komen er vanzelf uitrollen. (probeer dus y = cx + d en bepaal c en d)

xy' + y = 2x

Homogeen:

dy/dx = -y/x
dy/y = -dx/x
ln |y| = -ln|x| = ln |1/x|
y = 1/x

Particuliere oplossing kun je raden... het is y=x (zonder berekening)

Oplossing: y = 1/x + x

ok, dus je haalt het rechterlid van de vergelijking gewoon weg (omdat het de part. opl. betreft) en vervolgens los je de homogene op?
En hoezo kan je de part. oplossing raden? Wat is de vergelijking die je dan moet oplossen voor de particuliere oplossing?

De homogene vergelijking krijg je door de termen weg te laten, die niet van y afhangen. In dit geval dus het rechterlid.

Een oplossing raden voor de particuliere vergelijking... sja, dat is altijd gewoon proberen. Begin met een constante, bijvoorbeeld y = 1. Dan krijg je dus y' = 0. Invullen:

xy' + y = 2x
0 + 1 = 2x

Ga niet de vergelijking oplossen overigens ;) Wat je wilt is het linkerlid gelijk aan het rechterlid maken, door de juiste functie voor y te vinden. Probeer een extra factor x; y = x en y' = 1 geeft dan:

xy' + y = 2x
x*1 + x = 2x
2x = 2x
De vergelijking klopt, dus dit is je functie voor y.

Misschien wat mierenneukerij, maar wel essentieel is dat het uiteindelijke antwoord is:
A *1/x + x
Met A dus een constante.

ok dan begrijp ik hem:)

Alleen nu heb ik alweer het volgende probleem:
y"+y'-6y=0

Heb ik herschreven naar:
dy/dx=6y/dy*dx
d²x=6y/d²y
1/2x²=1/6*ln y*y
3x²=lny*y
y=A*(sqrt)e3x²

Hetgeen niet juist is, waarschijnlijk verkeerd herschreven oid? Of mag je dat niet zo herschrijven? Of moest je hier iets doen met:
r²+r=6
r=2
A*e2t?

Een homogene tweede-orde lineaire DV met constante coëfficienten kun je oplossen door een oplossing te proberen van de vorm y = B*e^a*x

Dit levert in jouw geval:

(a² + a - 6) exp(ax) = 0
a² + a - 6 = 0
(a+3)(a-2) = 0
a = -3 v a = 2

De oplossingen zijn dus y = B*exp(-3x) en y = B*exp(2x)

Ok:)
Maar m'n boek komt met de mogelijke oplossingen:
y=e[sup]-x[sup] en y=xe^-x
Nu snap ik dat deze oplossingen te maken zijn uit de eerste oplossing. Maar dat zou een oplossing als e^x en t²e^-t ook toch moeten kunnen?

Verder nog een vraag?
y"+6y= x geeft toch een sin/cos oplossing? Kan je misschien laten zien hoe die werkt, want dat had toch iets met complexe getallen te maken?

Als je wil weten of een oplossing klopt, hoef je de oplossing alleen maar in te vullen en te kijken of de vergelijking nog geldt.

Citaat:

Verder nog een vraag? y"+6y= x geeft toch een sin/cos oplossing? Kan je misschien laten zien hoe die werkt, want dat had toch iets met complexe getallen te maken?

Homogeen:

y" + 6y = 0
Deze vorm heeft een oplossing van de vorm A*cos(Bx+C) of A*sin(Bx+C) (als je goed kijkt zie je dat het eigenlijk dezelfde vorm is, met een andere C)

Invullen:
-A*B²cos(Bx+C) + 6Acos(Bx+C) = 0
B² = 6
B = sqrt(6)
Oplossing: y = A*cos(sqrt(6)*x+C)

Particulier:

Dit levert y = x/6 (zonder berekening, is simpel te raden)

Oplossing: y(x) = A*cos(sqrt(6)*x+C) + x/6

Kijk maar eens op http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html

*bookmark*

De beschrijvingen in mijn boek zijn vaak onvolledig. ;)

Nog een vraagje:

1. y'+2y=2e^x

integrant (oid)= e^2x

(e^2xy')=2e^xe^2x

e^2xy'= 2/3ue^1,5u met u=2x

y= 4/3xe^x + C/e^2x

Maar das dus fout volgens de antwoordlijst

2. xy'-2y=x²
y'-2y/x=x
integrant = x²
x²y'-2xy=x³
(x²y')=x³
x²y= 1/4x^4+C
y= 1/4x²+c/x²

Maar das wederom fout

Homogeen: y' + 2y = 0
y (x) = A*exp(-2x)
Particulier: vul in B*exp(x), bepaal B:
y (x) = 2/3 * exp(x)

Oplossing: y(x) = Aexp(-2x) + 2/3 * exp(x)

Citaat:

2. xy'-2y=x²

Die kom ik nu niet uit, misschien post ik hem later als ik geen bier op heb.

Stel y=p(x)*x², dan geldt: y'=p'(x)*x²+2*x*p(x),
dus p'(x)*x²+2*x*p(x)-2*x*p(x)=x, dus p'(x)*x²=x, dus p'(x)=1/x,
dus p(x)=ln|x|+c, dus y=x²(ln|x|+c).

Hoe kom je op de homogene oplossing?
@mathfreak:
Daar snap ik niets van, kan je het niet met getallen doen das makkelijker

Een eerste orde lineaire DV met constante coëfficiënten heeft altijd een e-macht als homogene oplossing. Probeer dus een oplossing A*exp(B*x), vul het in en bepaal de constante B.

Er staat ook eigenlijk dat de afgeleide gelijk is aan -2 keer zichzelf. Het is dan niet zo moeilijk om op exp(-2x) te komen. :)

ok:), maar hoe zit het dan bijvoorbeeld met hogere machten, zoals:
y'+2y^4=0?
Dan kan het toch niet?

Da's geen lineaire DV. Die is wel op te lossen, maar dan met scheiden van variabelen.

ok, hoe kan je trouwens zien of het een lineare dv is? Gewoon aan de macht?

En hoe kan je dan variablen splitsen?

dy/dx=-2y^4
dx=-2y^4 dy
x+C=-2/5y^5
y=5^sqrt(-5/2(x+C))

oid?

Definitie lineaire DV:

Als y₁ en y₂ oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking, dan is ook a*y₁+b*y₂ een oplossing, met a en b constanten. In dit geval levert dat een term (ay₁+by₂)⁴ op, niet-lineair dus.
Scheiden variabelen:
dy/dx=-2y^4
dy/(-2y^4) = dx
dy/y^4 = -2dx
1/y^5 = 10x + C
y^5 = 1/(10x + C)
y = (1/(10x+C))^1/5

Ik zal laten zien hoe je tot de oplossing komt die ik noemde. Om de d.v. y'-2*y/x=x ga je om te beginnen uit van de homogene d.v. y'-2*y/x=0. Herschrijf dit als y'=dy/dx=2*y/x. Scheiden van variabelen levert: dy/y=2/x*dx. Links en rechts integreren levert: ln(y)=2*ln(x)+c,
dus y=e^2*ln(x)+c=C*e^2*ln(x)=C*x².
Om nu de inhomogene d.v. op te lossen stel je nu y=C(x)*x². Deze methode wordt variatie van de constante genoemd. Invullen van y=C(x)*x² in
y'-2*y/x=x geeft: C'(x)*x²+C(x)*2*x-C(x)*2*x=x, dus C'(x)*x²=x, dus C'(x)=1/x,
dus C(x)=ln|x|+c en y=x²(ln|x|+c).

het wil maar niet lukken:(
bv. 2xy'-y=sqrt x
Homogeen:
sqrt 2*x
Maar ik krijg op geen enkele manier de part. oplossing.

Ga uit van de homogene d.v. 2*x*y'-y=0, dus 2*x*y'=y, dus y'=dy/dx=1/2*y/x. Scheiding van variabelen geeft: dy/y=1/2*dx/x,
dus ln(y)=1/2*ln(x)+c, dus y=C*sqrt(x).
Om nu de inhomogene d.v. 2*x*y'-y=sqrt(x) op te lossen passen we variatie van de constante toe en stellen we y=C(x)*sqrt(x). Invullen hiervan in 2*x*y'-y=sqrt(x) geeft: 2*x(C'(x)*sqrt(x)+1/2*C(x)/(sqrt(x))-C(x)*sqrt(x)=2*C'(x)*x*sqrt(x)+C(x)*sqrt(x)-C(x)*sqrt(x)=sqrt(x),
dus 2*C'(x)*x*sqrt(x)=sqrt(x), dus C'(x)=1/2*1/x, dus C(x)=1/2*ln|x|+c, dus y=sqrt(x)(1/2*ln|x|+c).

Hier kan ik er vast ook nog wel 1 bij proppen:o

y'+3y/x=4x⁴

Homogeen:
dy/y=-3/x*dx
lny=-3lnx+c
y=x-³+c
part. x^5
vergelijking:
y=1/x³+x^5+c
Beginvoorwaarde: y(1)=0
c=-2

Maar er zit ergens een foutje, in de homogene oplossing denk ik, weet alleen niet wat

Het stuk:
Ln[y] = Ln[x^-3] + C
moet je anders oplossen. De constante C moet je als een logaritme schrijven:
Ln[y] = Ln[x^-3] + Log[C₂]
Ln[y] = Ln[C₂x^-3].

Verder is de particuliere oplossing iets met x⁴...

sorry zat typfoutje in :o
Verder bedankt voor de uitleg:)

Ga eerst uit van de homogene d.v. dy/y=-3/x*dx. Links en rechts integreren levert: ln(y)=-3*ln(x)+c, dus y=C/x³.
Pas voor het oplossen van de inhomogene d.v. y'+3*y/x=4*x⁴ variatie van de constante toe door y=C(x)/x³=C(x)*x^-3 te stellen.
Dit geeft: C'(x)*x^-3-3*C(x)*x^-4+3*C(x)*x^-4=4*x⁴, dus C'(x)*x^-3=4*x⁴, dus C'(x)=4*x⁷, dus C(x)=1/2*x⁸+c, dus y=1/2*x⁵+c/x³. Uit y(1)=0 volgt dan: 0=1/2+c, dus c=-1/2.