In- en uitproduct?
 

Wat is het verschil tussen een in- en een uitproduct van vectoren en wat kan je met beide?

Het verschil is dat ze verschillend gedefinieerd zijn.

Het inproduct is een scalar, een getal dus. Het inproduct kun je, simpel gezegd (de definitie is iets ingewikkelder), vinden door de absolute waarde van twee vectoren te vermenigvuldigen, en het resultaat te vermenigvuldigen met de cosinus van de hoek tussen de vectoren. (gaat alleen op voor reële inproducten)

Het uitproduct is, in de R³-ruimte, een vector die loodrecht staat op de twee vectoren waarvan je het uitproduct neemt. In absolute waarde is de grootte van deze vector het product van de absolute waarde van de twee vectoren, vermenigvuldigd met de sinus van de hoek tussen de vectoren. De z-eenheidsvector in het R³-stelsel met assen x, y en z is het uitproduct van de x- en y-eenheidsvectoren.

wat stelt het getal wat je met het inproduct krijgt dan precies voor?

Dat ligt aan de toepassing... maar je kunt het zien als een soort van bijdrage in de evenwijdige richting.

Voorbeeld uit de natuurkunde:

Voor de arbeid geldt:

W = Integraal F inproduct ds

Hierin zijn zowel F als s vectoren, maar voor de arbeid is alleen de component van de kracht in de richting van de afgelegde weg van belang, vandaar het inproduct.

Ook kun je bijvoorbeeld aan het inproduct van twee vectoren zien of die twee vectoren orthogonaal zijn (loodrecht op elkaar staan). In dat geval bedraagt het inproduct namelijk 0.

Overigens is het inproduct zo gedefinieerd:

x * y = |x| |y| cos(theta)

Waarbij theta de hoek tussen x en y voorstelt.

Dit is dus wat algemener dan wat ik hierboven zei.

Je kunt het nóg algemener omschrijven. ;)

Stel, je hebt een N-dimensionale ruimte (of een oneindig-dimensionale ruimte).

Dan geldt dat van twee vectoren:

x1 = (x1,x2,x3,...,xn,...)
x2 = (y1,y2,y3,...,yn,...)

Het inproduct wordt gegeven door:

x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn+....

Dan heb je het wel over een ruimte over R. Als het over C is, moet het telkens x1z1 zijn, waar z1 de geconjugeerde is van y1. Over R zijn y1 en z1 natuurlijk aan elkaar gelijk.

In het algemeen moet je iets definieren, en als het aan de volgende 4 eigenschappen voldoet is het een inproduct.

<x,y> is het inproduct van x en y.

<x+z,y>=<x,y> + <z,y>
<cx,y>=c<x,y>
geconjugeerde van <x,y> = <y,x>
<x,x> > 0 als x ongelijk aan 0 is.

Zo is er bijv een (of wel meerdere eigenlijk) inproduct van 2 polynomen of 2 matrices.

Nouja... als je nog wat verder denkt kan je zodoende dus zelfs de hoek tussen 2 polynomen of 2 matrices uitrekekenen. :|

Dat kan alleen in een reële ruimte.

Met polynomen kan je gelijk hebben.

Bij matrices heb je het zogenaamde Frobenius inproduct.

<A,B>=trace(B* A)

trace is de som van de diagonaal elementen. En (B*)ij = geconjugeerde van (B)ji

A,B elementen van vectorruimte V=M(nxn) (F). En als het over F is (in mijn boek), is het dus niet alleen over R