Integraal
 

Wat is de primitieve van sqrt(17+z^2)?

Hoe komen ze daar op? + wat is ArcSinh?

ArcSinh is de inverse van de Sinus Hyperbolicus: een vervelende functie die met complexe getallen werkt.

De hyperbolische sinus is gedefinieerd als:

sinh(x) = (exp(x) - exp(-x)) / 2

De arcsinh-functie stelt dus de inverse van deze functie voor.

Waarschijnlijk geraak je er via een substitutie van t=sinhx, eventueel al met de factor sqrt17.

Via cosh²x-sinh²x=1 kan je dan een coshx onder die wortel halen en uitwerken.

Nee hoor, je kunt de areasinus hyperbolicus (arsinh) voor reële x definiëren als arsinh(x)=ln(x+sqrt(x²+1)).
@g83g8g: Algemeen geldt dat de primitieve van sqrt(a²+x²) de waarde
1/2[x*sqrt(a²+x²)+a²*ln(x+sqrt(a²+x²))] heeft. In plaats van
ln(x+sqrt(a²+x²)) kun je in dit geval ook arsinh(x/a) schrijven.

Waarom geldt dat algemeen?

ik zal even kort het idee erachter geef, ik denk je dat het zelf even moet uitschrijven om het echt goed in te zien:

y = arcsinh(x)

x = sinh(x)

x = (e^y - e^-y ) / 2

e^y - 2x - ^-y = 0

e^2y - 2x^y - 1 = 0

(e^y - x)² - x² - 1 = 0

(e^y - x)² = x² + 1

e^y - x = sqrt[x² + 1]

e^y = x + sqrt[x² + 1]

y = ln(x + sqrt[x² + 1])