[WI] Primitiveren
 

hey.
ik kom niet uit de volgende opgave. misschien zou een van jullie mij kunnen helpen:
16. Gegeven is de functie f(x)=(2x^2+3x)*e^-x.
a. F(x)=(ax^2+bx+c)*e^-x os eem primitieve van f. Bereken a,b en c.
b. Bereken de oppervlakte van het gebied G ingesloten door de grafiek van f en x-as exact.
c. G wordt gewenteld om de x-as.Bereken de de inhoud van het onwentelingslichaam numeriek.


Met vriendelijke groet,
Jaap

Primitieve F(x) differentiëren (met de kettingregel):
(2ax+b)e^-x - (ax^2+bx+c)e^-x
samenvoegen:
(-ax^2+(2a-b)x+b-c)e^-x
Vergelijken met f(x) geeft:
a=-2
b=2a-3=-7
c=0-7=-7

Ik neem aan dat de rest dan ook wel lukt.

Maak gebruik van de relatie F'(x)=f(x).
Dit geeft: (2*a*x+b)e^-x-(a*x²+b*x+c)e^-x=(-a*x²+(2*a-b)x+b-c)e^-x
=(2*x²+3*x)e^-x, dus a=-2, -4-b=3, dus b=-7 en b-c=0, dus c=b=-7.

Bepaal eerst de snijpunten van de grafiek van f met de X-as, dus stel f(x)=0. Dit geeft: (2*x²+3*x)e^-x=0, dus 2*x²+3*x=0 of e^-x=0, dus x(2*x+3)=0, dus x=0 of x=-1 1/2. Bepaal vervolgens de extremen van f, dus stel f'(x)=0. Dit geeft: (4*x+3)e^-x-(2*x²+3*x)e^-x=0, dus 2*x²+3*x=4*x+3, dus 2*x²-x-3=0, dus x=(1-sqrt(1+24))/4=(1-5)/4=-4/4=-1 of x=(1+sqrt(1+24))/4
=(1+5)/4=6/4=3/2=1 1/2. Er geldt: f'(x)=(-2*x²+x+3)e^-x. Omdat e^-x positief is hoef je alleen maar naar het teken van -2*x²+x+3 te kijken. Voor x<-1 of x>1 1/2 geldt: -2*x²+x+3<0. Voor -1<x<1 1/2 geldt: -2*x²+x+3>0, dus x=-1 geeft een minimum -e en x=1 1/2 geeft een maximum 9*e^{-1 1/2}. Je beperkt je in dit geval tot -1 1/2<x<0, dus f is minimaal -e (voor x=-1) en maximaal 0. Je weet dat de primitieve wordt gegeven door F(x)=-(2*x²+7*x+7)e^-x. Splits G in 2 gebieden: het gebied G₁, begrensd door de grafiek van f, de X-as en de lijnen x=-1 1/2 en x=-1, en het gebied G₂, begrensd door de grafiek van f, de X-as en de lijnen x=-1 en x=0, en bereken met behulp van F(x) de oppervlakten van G₁ en G₂. De som van de oppervlakten van G₁ en G₂ stelt dan de gevraagde oppervlakte van G voor.

Ga uit van de splitsing van G in G₁ en G₂.
Pas voor g(x)=pi*(4*x⁴+12*x³+9*x²)e^-2*x de benaderingsmethode voor het numeriek integreren van g(x) toe. Vanwege de splitsing van G in G₁ en G₂ komt dit neer op de som van de inhouden van de omwentelingslichamen die ontstaan door G₁ en G₂ om de X-as te wentelen.