Integraal
 

Hoe bepaal je de integraal van 1/cos(x) ?

Er geldt: 1/cos(x)=1/(1-2*cos²(1/2*x))=1/(1-2/(tan²(1/2*x)+1))
=1/[(tan²(1/2*x)+1)/(tan²(1/2*x)+1)-2/(tan²(1/2*x)+1)]
=1/[(tan²(1/2*x)-1)/(tan²(1/2*x)+1)]=(tan²(1/2*x)+1)/(tan²(1/2*x)-1), dus dx/cos(x)=(tan²(1/2*x)+1)/(tan²(1/2*x)-1)*dx
=(t²+1)/(t²-1)*d(2*arctan(t))=2*(t²+1)/(t²-1)*dt/(t²+1)=2*dt/(t²-1)=a*dt/(t-1)+b*dt/(t+1)=((a+b)t-a+b)dt/(t²-1), dus a+b=0, dus a=-b en
-a+b=2*b=2, dus a=-1 en b=1, dus 2*dt/(t²-1)=dt/(t+1)-dt/(t-1). Dit geeft de integraal ln(t+1)-ln(t-1)=ln[(t+1)/(t-1)]
=ln[(tan(1/2*x)+1)/(tan(1/2*x)-1)].

omfg

?? de afgeleide van een tangens is toch arctan?

Nee, de inverse functie van Tan(x) is ArcTan(x).

Verwar bij goniometrische functies inverse niet met afgeleide!
Zo is bvb de afgeleide van Sin(x) gelijk aan Cos(x), maar de inverse ervan is Arcsin(x).

De afgeleide van Tan(x) is 1/Cos²(x) of Sec²(x)..

of 1 + tan²x --> kan in sommige gevallen ook heel handig zijn :D

(tan²(1/2*x)+1)/(tan²(1/2*x)-1)*dx
=(t²+1)/(t²-1)*d(2*arctan(t))=2*(t²+1)/(t²-1)*dt/(t²+1)

waarom wordt hier dan naar de arctan gegrepen? misschien een regel die ik niet ken ofzo

In die stap wordt, als ik me niet vergis, volgende substitutie toegepast:

Stel tan(x/2) = t
<=> arctan(tan(x/2))=arctan(t) <=> x/2=arctan(t) <=> x=2*arctan(t)

Als je dan de vetgedrukte substituties toepast op de voorafgaande regel:
(tan²(1/2*x)+1)/(tan²(1/2*x)-1)*dx

Dan krijg je dus inderdaad:
(t²+1)/(t²-1)*d(2*arctan(t))

Dat was inderdaad de methode die ik gebruikte.