[WI] Getallenrij
 

Beste forumleden,

Ik ben op dit moment bezig met het hoofdstuk Getallenrijen op niveau wiskunde-0 (algemeen deel: 4/5-vwo).

Stel nu dat ik de volgende getallenrij heb:

3; 5; 8; 12; 17

Het is duidelijk dat de toename in deze rij steeds 1 meer is dan de vorige.
Als ik nu probeer een direct formule voor deze rij op te stellen ga ik als volgt te werk:

u(n) = b + (n-1)v

De 'v' is mijns inziens eigenlijk weer een getallenrij op zich, namelijk deze:
2; 3; 4; 5 (dit zijn de toenames)

De formule van deze rij is u(n) = n+1

Dan wordt de formule van de oorspronkelijke rij dus

u(n) = b + (n-1) (n+1)

Vermenigvuldig de termen tussen haakjes met elkaar en vul in b=3, dan komt er te staan:

u(n) = 3 + nkwadraat + n - n - 1

Ofwel

u(n) = nkwadraat + 2

Deze directe formule klopt echter niet, vul maar eens n=2 in. Er komt dan geen 5 uit.

Welke denkfout heb ik gemaakt bij het opstellen van deze directe formule en wat is dan wel de correcte methode?

Bij voorbaat dank voor de hulp!

T. Kramers

Veronderstel een directe formule van de vorm:

u(n) = a*n² + b*n + c

Gelijkstellen aan de eerste drie termen levert:

a + b + c = 3
4a + 2b + c = 5
9a + 3b + c = 8

Dit is een onafhankelijk stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden. De oplossing kun je bijvoorbeeld vinden door de vergelijkingen in een matrix te stoppen en te vegen.

Dit levert a = 1/2, b = 1/2 en c = 2.

u(n) = (1/2)n² + (1/2)n + 2.