wat is eigenlijk de betekenis van afgeleide
 

hey hai wat is eigenlijk de betekenis van afgeleide , ik reken wel de functie in de afgeleide, das makkelijk, maar wat is een afgeleide eigenlijk.

hellingfunctie

Als je de afgeleide van een functie in een bepaalde punt berekent, dan is dat de richtingscoëfficient van de raaklijn aan die kromme door dat punt.

Verder heeft het ook veel toepassingen in de fysica.
De afgeleide van de positie naar de tijd is bijvoorbeeld de snelheid.
De tweede afgeleide van de positie naar de tijd, of de eerste van de snelheid naar de tijd, is de versnelling.

Je kunt de afgeleide opvatten als een functie die een verandering aangeeft. Als f een gegeven functie is en als h een gegeven getal groter dan nul is, dan geeft f(x+h)-f(x) de verandering in de functiewaarde aan. Door dit te delen door x+h-x=h (de verandering in x) en door h steeds dichter bij nul te kiezen zal (f(x+h)-f(x))/h naderen tot een grenswaarde, die de afgeleide f'(x) voorstelt.

snelheid waarmee y verandert op een punt
de helling op een punt
de richtingscoëfficient van de raaklijn door een punt

allemaal hetzelfde

de verandering van de grootheid per afstand waarop hij is uitgezet

Veronderstel de functie f(x). Stel je wil de verandering van f(x) weten tov x, in een punt P, dan is dit te benaderen mbv een raaklijn (= eerstegraads Taylor polynoom van f(x) die de functie f(x) lineariseert) aan de grafiek in punt P. De richtingscoefficiente van deze raaklijn is dan de 'helling'. Je zou dus kunnen zeggen, bij een gegeven waarde x kan je de helling/afgeleide bepalen door de verandering in y (resp. deltaY) en de verandering in x (resp. deltaX) door elkaar moet delen; f'(x) = deltaY/deltaX. Dit kunnen we opschrijven als f'(x) = (f(x+deltaX)-f(x))/deltaX. Voor 't gemak schrijven we dit weer om naar f'(x) = (f(x+h) - f(x))/h. Welnu je ziet dit geeft over een bepaalde intervalsverschil h de verandering weer. We zijn echter geinteresseerd in de verandering IN een punt p en niet over een interval waar p zich binnen bevindt. Uitgaande van bovenstaande formule zouden we kunnen stellen dat we de formule alleen kunnen gebruiken als het intervals verschil h 0 is en dus dat de interval z'n grenspunten overeenkomstig zijn in P. h=0 invullen zou dan geven f'(x) = (f(x)-f(x))/0 = 0/0. Een axioma dus, want delen door 0 is flauwekul ;). We kunnen h dus niet nemen als 0, aangezien dit in een axioma resulteert. We kunnen echter WEL h zo dicht mogelijk bij 0 nemen. We nemen dus het limiet van (f(x+h)-f(x))/h waarbij h zo dicht mogelijk naar 0 gaat. Dus:

Deze limiet is de definitie van de afgeleide f'(x) van f(x) :)

bedankt allemaal

Owja, voordat ik het vergeet. Het kan zo zijn dat je uit de bovenstaande limietstellingen een resultaat krijgt in de vorm van 0/0 of oneindig-oneindig of -oneinding/oneindig etc... In dit geval moet je mbv standaardlimieten de nulmakende factor eruit delen of de functie als breuk schrijven en dan dmv L'Hospital de limiet bepalen.
L'Hospital gaat als volgt:

Ik neem aan dat je in plaats van een axioma een paradox bedoelt. Een axioma is namelijk een niet bewezen bewering die als uitgangspunt dient voor de opbouw van een bepaald wetenschapsgebied.
Nog even een opmerking: als je het profiel van halilo bekijkt zul je zien dat hij h.a.v.o. doet, en limietdefinities maken geen deel (meer) uit van de h.a.v.o.-wiskundestof.

Ah verkeerde keuze aan bewoording.

Verijkingsstof kan geen kwaad? Bovendien is de topic ook toegankelijk voor mensen die misschien een v.w.o/h.b.o/universitaire opleiding genieten die dezelfde vraag hebben. Typisch geval van beter teveel dan te weinig? ;)

verrijkingsstof hierover? te onwaarschijnlijk...
maar misschien heef hij/zij wiskunde als hobby.. leuk toch?

Praat het maar weer goed voor jezelf :)

Jeweettoch ;)