Wi puzzeltjes
 

Mijn WI-docent heeft mij deze puzzeltjes gegeven, maar ik kom er niet echt uit. Kan iemand mij ze uitleggen? Alvast bedankt!!!

N.B. Je mag geen gebruik van de rekenmachine maken(, wel kladpapier ;) )

1)
Harry heeft een getal opgeschreven dat bestaat uit 2003 enen. Hij vermenigvuldigt dat getal met 2003 en telt daarna de cijfers van het product op. Wat is de uitkomt
a) 10000 b) 10015 c) 10020 d) 10030 e) 2003 x 2003

2)In rechthoek ABCD zijn P, O, R en S de middens van de zijden. T is het midden van het lijnstuk RS. De oppervlakte vna ABCD is 1. Wat is de uitkomst van driehoek PQT?
a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 5/16 e) 3/8

3)X, Y en Z staan voor één van de cijfers 1, 2, 3 ..... 9. Verschillende letters staan voor verschillende cijfers. Waar staat X voor?
a) 1 b) 2 c) 7 d) 8 e)9

XX
YY
ZZ
----- +
ZYX

4)Harry schrijft een rij opeenvolgende positieve gehele getallen op. Elk getal in de rij heeft de eigenschap dat de som van de cijfers niet deelbaar is door 5. Hoeveel getallen kan hij hoogstens opschrijven?
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

5)Minoes kiest drie van de getallen 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 en 28 en telt ze op. Als ze dit op alle mogelijke manieren doet, hoeveel verschillende uitkomsten krijg ze dan?
a) 21 b) 22 c) 30 d) 120 e) 720

6) Vier tuinmannen hebben vier uur nodig om vier ronde bloemperken, elk met een diameter van 4 meter, te schoffelen. Hoeveel uur hebben zes tuinmannen nodig om zes ronde bloemperken, elk met een diameter van 6 meter, te schoffelen?
a) 4 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

Je hebt 1*2003+10*2003+100*2003+.....10^2002*2003
Als je deze allemaal onder elkaar zet:
......0000000000000002003
......0000000000000020030
......0000000000000200300
......0000000000002003000
..
..
20030000000.....
02003000000......
00200300000000......
0002003000000.......
Je ziet dat als je de verticale kolommen optelt, je overal 5 als uitkomst hebt (1 keer 2, 1 keer 3, de rest nullen), behalve bij de eerste 3 en de laatste 3. Je hebt 3 keer 2 en 3 keer 3, dit maakt samen 3 keer 5.
Je hebt dus (aantal kolommen -3)*5 als uitkomst.
De 2003 enen maken 2006 kolommen samen (ga maar na, als je een 1 met 2002 nullen had, zou je nu 2003 met 2002 nullen krijgen, dus 2006 kolommen. De verdere enen hebben geen invloed op de lengte van de uitkomst, omdat geen enkel product op zijn plaats boven de 10 uitkomt).
Antwoord dus (2006-3)*5=10015 (antwoord b)

Deze heb ik opgelost mbv modulo-rekenen, maar omdat ik denk dat je dit nog nooit gehad hebt, zal ik het anders proberen uit te leggen.
De rechtste kolom X+Y+Z levert een X op, als het om eenheden gaat. Dit betekent dat Y+Z deelbaar moet zijn door 10.
(bijv. Als je een getal hebt dat op een x eindigt, en je telt daar 2 andere getallen bij op, die op een y en een z eindigen, dan tel je in de rechtse kolom alleen die x, y en z bij elkaar op. Er kan dan alleen maar x uitkomen, als y+z 0 oplevert als het om eenheden gaat, stel y+z=11, dan eindigt x+y+z op x+1 (of op 0 als x=9).)
Omdat x,y,z tussen 1 en 9 liggen, moet Y+Z dus gelijk zijn aan 10 (20 kun je niet maken met twee getallen onder de 10 en iets hogers dus al helemaal niet).
Dus Y+Z=10

X+Y+Z is dus gelijk aan 1X (voor de X vul je de uiteindelijke X in).
Als je naar de som gaat kijken, zou je dus X+Y+Z, is X opschrijven, 1 onthouden. Dan krijg je X+Y+Z+1=ZY. Omdat Y+Z=10, kan X+Y+Z+1 dus hoogstens 20 zijn. Maar omdat Y geen 0 mag zijn, moet Z wel 1 zijn. Dit betekent dat Y=9.
We zien nu dat X+Y+Z=1X en X+Y+Z+1=1Y, dit betekent Y=X+1, dus X=8

Reken maar na 88+99+11=198

(ik hoop dat je de redenering een beetje gesnapt hebt)

Kijk naar de oppervlakte van de geschoffelde tuin:
Een cirkel heeft een oppervlakte van Pi*r², waarbij r de straal is. Bij een diameter van 4, hoort een straal van 2 meter.
Per tuin wordt er dus Pi*2²=4*Pi m² geschoffeld. Voor 4 tuinen komt dit dus neer op 16*Pi m².
4 mensen hebben er 4 uur aan gewerkt, dit komt neer op 16 manuren. Dit betekent dat 1 tuinman 16*Pi/16=Pi m²/uur schoffelt.

Een tuin met diameter 6, heeft straal 3, dus oppervlakte Pi*9 m². Voor 6 tuinen, komt dit neer op 54*Pi m². Een tuinman schoffelt Pi m²/uur, dus kost dit werk 54 manuren. Verdeeld over 6 tuinmannen, kost dit 54/6=9 uur.

Deze is niet zo moeilijk en dit is hoe ik hem opgelost heb:

{X + Y + Z = X + 10a
{X + Y + Z + a = Y + 10 Z
dit stelsel valt te vereenvoudigen tot
{10a = Y +Z
{ 9Z = X + a
of in een lijntje:
89Z - 10 X = Y
Daar ben je tot nu toe niet zo veel mee, maar je weet dat ze elk een getal zijn, dus kan 10X maximaal 90 zijn waarbij X = 9, maar er geldt ook dat 0 <= Y <= 9, waardoor het verschil tussen 90 en 89Z in hetzelfde interval moet liggen. Voor X is 9 is dat onmogelijk, omdat je voor Z minimaal 2 nodig hebt om daarboven te komen zodat je een groter verschil hebt. Dan maar eentje afzwakken. Voor X kom je dan 8 uit, en de eerste waarde van 89Z die 80 overstijgt is met Z=1, wat als verschil Y=9 zou opleveren. Alles mooi, dus gaan we alles nog maar eens testen:
88
99
11
----- +
198 ==> Yes!

Het antwoord is volgens mij 8, maar weet niet precies hoe ik het uit moet leggen zonder modulorekenen.
Een getal is deelbaar door 5, als het eindigt op een 5 of een 0 en nooit anders.
Als y=xxxxx6 de som is van de cijfers van een bepaald getal en het laatste cijfer van dit getal is een 6, dan werkt het: y+1 heeft som xxxxx7, y+2 xxxxx8 en y+3 xxxxx9. y+4 zou som xxxx(x+1)0 hebben en dus deelbaar zijn door 5, maar omdat het laatste cijfer van y gelijk is aan 6, gaat y nu dus van ......z9 naar ......(z+1)0 en dus neemt de som met 8 af, in plaats van met 1 toe. De som van y+4 is dus gelijk aan xxxxx1. y+5 xxxxx2, y+6 xxxxx3 en y+7 xxxxx4. Omdat xxxxx5 deelbaar is door 5, is y+7 dus niet meer goed. Je hebt dus 8 getallen achter elkaar die voldoen.

Dat is a: 4, denk ik.
Laat ons gewoon het eenvoudigste voorbeeld nemen: 1, 2, 3, 4. Als je de vijf erbij neemt, klopt het natuurlijk niet meer.
Eigenlijk steunt het op die modulo's: voor een deling door 5 kan je vijf modulo's (resten) hebben: 0 (=deelbaar door vijf), 1 , 2, 3, 4. Als je dus opeenvolgende getallen hebt, heb je eerst module 1, dan 2, dan 3, dan 4 en dan weer 0. Voor zo'n reeks kan je er dus maximaal 4 hebben, lijkt me.

Klopt niet: gaat enkel op als de getallen zelf deelbaar moeten zijn door 5. Sorry, volg de bovenstaande uitleg maar :p

zou iemand mij anders misschien in het kort modulorekenen kunnen uitleggen?
Dat kom je nl. bij veel uitwerkingen van de opgaven tegen :s

1)
Bekijk: 1 x 2003 = 2003 -> som = 2 + 0 + 0 + 3 = 5
Bekijk: 11 x 2003 = (10+1) x 2003 -> 20030 + 2003 -> som = 2 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0 + 3 = 10.

Je ziet dat meer enen leiden tot nullen achter 2003. (zo geeft een getal met twee enen 20030). Nul heeft echter geen invloed op de som van de getallen. Je begrijpt nu misschien dat als "1 enen" (dus gewoon het getal 1) het getal 1 x 5 oplevert en het getal 11 (2 enen) het getal 2 x 5 oplevert en je weet dat dit zo doorgaat, een getal met 2003 enen dus 2003 x 5 = 10015 zal opleveren. Antwoord is dus B (zoals al werd berekend)

2)
Maak gebruik van een assenstelsel. Je weet nu de coordinaten van T (precies tussen S en R in!) en van Q en van P. Om deze driehoek kun je een rechthoek (vierkant) leggen en de oppervlakte uitrekenen. Trek hier de oppervlakte van de rechthoekige driehoeken af, en je houdt de oppervlakte van PQT over. Het antwoord is C: 1/4

In dit geval is het vaak handig om modulo 10 te rekenen: je kijkt naar de rest van een getal als je het door 10 deelt. Bijv. 12=1*10+2, dus is de rest na deling 2. Hetzelfde geldt voor 23984872 en 438292. In dit topic heb ik geprobeerd het principe van modulorekenen (en waarom het zo handig is) uit te leggen. Kijk hier maar eens naar: http://forum.scholieren.com/showthre...readid=1072054

[QUOTE]pino123 schreef op 28-01-2005 @ 18:42 :
[
4)Harry schrijft een rij opeenvolgende positieve gehele getallen op. Elk getal in de rij heeft de eigenschap dat de som van de cijfers niet deelbaar is door 5. Hoeveel getallen kan hij hoogstens opschrijven?
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Dit is gewoon uitproberen

begin je bij 1 kom je maar bij 3 123=6 1234=10
bij 2 kom je maar bij 2 , 23=5
bij 3 3456=18 34567=25 (4 dus)
bij 4 45=9 +6 =15
bij 6 = 678 =21 +9=15
bij 7= 78 =15
bij 8= 8,9,10, = 18 + 11(2) = 20 dus maximaal 4 mogelijk

[QUOTE]Supersuri schreef op 30-01-2005 @ 01:49 :

Citaat:

pino123 schreef op 28-01-2005 @ 18:42 : [ 4)Harry schrijft een rij opeenvolgende positieve gehele getallen op. Elk getal in de rij heeft de eigenschap dat de som van de cijfers niet deelbaar is door 5. Hoeveel getallen kan hij hoogstens opschrijven? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Dit is gewoon uitproberen begin je bij 1 kom je maar bij 3 123=6 1234=10 bij 2 kom je maar bij 2 , 23=5 bij 3 3456=18 34567=25 (4 dus) bij 4 45=9 +6 =15 bij 6 = 678 =21 +9=15 bij 7= 78 =15 bij 8= 8,9,10, = 18 + 11(2) = 20 dus maximaal 4 mogelijk

Het gaat niet om de reeks, maar om de cijfers van de getallen uit de rij. Zo is de som van de cijfers van 117=1+1+7=9 niet door 5 deelbaar en de som van de cijfers van 118=1+1+9=10=2*5 wel door 5 deelbaar.
6,7,8,9,10,11,12,13 zijn 8 opeenvolgende getallen waarvoor de som van hun cijfers niet door 5 deelbaar is.

Ik heb dit nagereknd met een vierkant, dus ook een rechthoek, want dat leek mij het makkelijkst omdat je dan kunt zeggen dat de zijden allemaal 1 zijn. Als je daarin dan de middens verbindt, krijg je een vierkant die precies de helft van de oppervlakte van je grote vierkant bedekt. Je kan dit bewijzen doordat je vier rechtzijdige driehoeken krijgt namelijk PBQ, QCR, RDS en SAP (met de middelste steeds de rechte hoek). De lengte van de zijden die op je grote vierkant liggen zijn allemaal 1/2 omdat je het midden genomen hebt. Dan kun je de stelling van Pythagoras toepassen: a² = b² + c². Dit geeft dus wortel uit ( 1/2² + 1/2² ) = wortel (1/4 + 1/4) = wortel (1/2) = wortel(2) / 2. Andere mogelijkheid is grafischer: gewoon de rechtzijdige driehoekjes naar binnen vouwen en ze bedekken alles van de kleine vierhoek: dus precies de helft elk.
Nu heb je dus bewezen dat elke zijde van het kleine vierkant gelijk is aan wortel 2 / 2, dus is de oppervlakte van dat vierkant gelijk aan wortel 2 / 2 kwadraat = 1/2. En de oppervlakte van een driehoek is basis maal hoogte gedeeld door twee, maar wilt het nu dat de basis een zijde van het vierkant is en de hoogte ook, als je hem verschuift. Dus 1/2 /2 = 1/4 inderdaad :)

:D merci allemaal (y)