[wi] Probleem van de week
 

Op school hebben ze bij ons het probleem van de week bedacht, elke week een wiskundig op te lossen probleem.

Om eerst maar even het antwoord van vorige week te vertellen: het was toch DGS . Ik weet niet meer precies hoeveel het hier goed hadden, maar ik had het fout.

Het probleem van deze week:

http://people.zeelandnet.nl/jjmrboot/probleemweek7.GIF
Bij dit spel mag je op de kaart een aantal nummers aankruisen. Je krijgt € 1,- voor ieder aangekruist nummer, maar je krijgt niets als je twee nummers hebt aangekruist waarvan de som een getal is wat deelbaar is door 3. Wat is het grooste bedrag wat je kunt winnen?

Mijn vader zal het ook wel weer uitrekenen, misschien krijgen we weer zo'n discussie als vorige week.....

???????????????????????????????? :confused: :confused:
Wat is er fout aan? Wiskunde hoort toch bij de excacte vakken????

Dan moet je het ook niet op het Economische Vakken forum plaatsen ;) .

Owjah en verder: zo'n discussie gaat in ieder geval niet meer van mijn kant komen...

oooow, stom. Sorry. En dutch gamer, had jij nou vorige week als antwoord DGS? Dan had je toch gelijk....

Maar heeft er nog niemand een antwoord?

Yup ;).

Volgens mij is het 1 (3) 4 7 10 13 16 19 22 25, waarbij je 3 kunt vervangen door ieder veelvoud van 3, dus 6, 9, 12, ..., dus 10 euro.

Bedoel je dat, wat je ook met deze getallen doet, de som nooit deelbaar door 3 zal zijn?
En als je 10-7 doet, dat is 3, 3 is deelbaar door 3.....
Of was de som alleen +?

Som is alleen +
Het verschil is -

Maar, 3 hoort er dan toch wel bij, want je kunt 3 niet 2 keer aankruisen (zodat 3+3=6=deelbaar door 3 zo zijn). Even nog wat meer reacties afwachten.

Ik probeer iets, dan moet iemand anders maar kijken of die hoger komt.

je kijkt sowieso eerst welke getallen deelbaar zijn door 3:

3,6,9,12,15,18,21,24,27,30. (weet dat het stom staat maar is wel ff handig als overzicht;)

Als je het volgende wegstreept is er geen combinatie die deelbaar is door 3:

1,4,7,10,13,16,19,22,25. (zit geen som bij van getallen die deelbaar zijn door 3)

Nu kijken wat er toe te voegen is zonder op iets uit te komen dat deelbaar is door 3. (alle getallen afgaan dus)

3 de rest niet, want dan is het +1 deelbaar door 3, en anders is het een veelvoud van 3 dat dus samen met 3 ook deelbaar moet zijn door 3.

Ik kom dus op 10 euro

Wie kan het beter? vast wel iemand toch? Heb het idee dat er meer uit moet kunnen komen namelijk

Dat bedoel ik ook, maar je mag 3 bijvoorbeeld ook vervangen door 6 of een ander veelvoud van 3.

dat is ook waar ik nu even snel als maximum op uitkom.

er zitten 3 soorten getallen in:
3n
3n+1
3n+2

als je begint met een 3n kun je daarna géén 3n meer toevoegen. (met andere n dus)

je kunt dan wel een 3n+1 of een 3n+2 toevoegen.

Kies voor een 3n+1.

Je hebt dan een rijtje:

3n - 3n+1

Je kunt dan (nooit meer) geen 3n+2 meer toevoegen en geen 3n meer. Je kunt echter wel "oneindig" 3n+1 toevoegen aangezien dat met geen van de voorgaanden een som deelbaar door 3 oplevert.

dus dan krijg je inderdaad alle vormen van 3n+1 plus toegevoegd een willekeurige 3n.

Kies je in plaats van de 3n+1 voor de versie met +2, krijg je een rijtje:

3n - 3n+2

wat je daarna toe kunt voegen is hetzelfde verhaal als hierboven, maar dan net andersom.. dus alleen nog maar 3n+2's.

Logischerwijs, als je met een andere begint dan met een 3n (bijvoorbeeld beginnen met 3n+1) kun je oneindig van dezelfde soort toevoegen (alle 3n+1's) en eenmalig een 3n.

Kortom. De twee rijtjes die je hiermee maakt zijn:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 3 (willekeurige 3n)
of
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 3 (willekeurige 3n)

de eerste is langer, dus inderdaad 10 euro :)

Kies het hoogste getal, dat niet deelbaar is door 3 => '25 '


Als je er steeds 3 afhaalt, is het niet deelbaar door 3 => vb:
(25-3) : 3 = (25 : 3) - (3 : 3)

Dus je hebt: 1,4,7,10,13,16,19,22,25 en één van de volgende:
3,6,9,12,15,18,21 of 24

€10,-

Goed, € 10,- zal het dan wel zijn, maar dat verhaal van Bartjenl snap ik niet, met die 3n.

Wat bartjenl doet is het volgende: als een getal a deelbaar is door 3 kun je dat getal schrijven als a=3*n, waarbij n een geheel getal is. Omdat a deelbaar is door 3 noemen we a=3*n een 3-voud. Je kunt de gehele getallen nu opsplitsen in 3 soorten: 3-vouden, 3-vouden+1 en 3-vouden+2, waarbij een 3-voud weer te geven is als 3*n, een 3-voud+1 als 3*n+1 en een 3-voud+2 als 3*n+2.
Je hebt de beschikking over de getallen 1 t/m 25. Hierin zitten de 3-vouden 3, 6, 12, 9, 15, 18 en 24. Verder heb je de 3-vouden+1 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 en 25. De 3-vouden+2 zijn 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 en 23.
Laat a=3*n een drievoud zijn, b=3*n+1 een 3-voud+1 en c=3*n+2 een 3-voud+2. Bekijk de som a+b=3*n+3*n+1=2*3*n+1, dus de som van een 3-voud en een 3-voud+1 levert weer een een 3-voud+1 op. Op dezelfde manier kun je nagaan dat de som van een 3-voud en een een 3-voud+2 weer een 3-voud+2 oplevert.
Je weet dat ieder nummer dat je aankruist €1,- oplevert, en dat je niets krijgt als de som van 2 aangekruiste nummers deelbaar is door 3. Stel dat je met 1 begint. De nummers 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 en 23 vallen dan af, omdat die samen met 1 een 3-voud opleveren. Kies 3 als volgende nummer. Pak vervolgens de nummers 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 en 25. Dit geeft het rijtje
1, 3, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 en 25 met een totale winst van €10,-. Indien je in plaats van 3 een van de andere 3-vouden 6, 12, 9, 15, 18 of 24 pakt, kom je ook weer op een rijtje met een totale winst van €10,- uit.
Stel dat je begint met 2. De nummers 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 en 25 vallen dan af, omdat die samen met 2 een 3-voud opleveren. Kies 3 als volgende nummer. Pak vervolgens de nummers 5, 8, 11, 14, 17, 20 en 23. Dit geeft het rijtje 2, 3, 5, 8, 11, 14, 17, 20 en 23 met een totale winst van €9,-. Indien je in plaats van 3 een van de andere 3-vouden 6, 12, 9, 15, 18 of 24 pakt, kom je ook weer op een rijtje met een totale winst van €9,- uit. Je ziet dus dat het rijtje waarbij je met 1 begint de meeste winst oplevert.

Maak het nou aub niet moeilijker voor me :p :p Helemaal snappen doe ik het niet, maar ongeveer wel. Bedankt voor de uitleg.

Ik zeg hier ook 10euro, zelfde idee als hierboven: je hebt dus die mogelijkheden voor een getal: voor een deling door drie geeft hij rest 0 (deelbaar), 1 of 2.

Bij het nemen van een som, tel je die getallen ook gewoon op. Je mag dus ofwel de getallen met rest 1 aankruisen, of de getallen met rest 2 en één getal met rest 0.

Waarheidstabel (getallen staan voor rest bij deling door 3)
Daarbij moet je gewoon naar de derde kolom kijken: als die deelbaar is door drie (0 en 3 dus), dan is je getal ook deelbaar door drie.

Dus moet je zorgen dat je het eerste en het voorlaatste geval kunt uitsluiten, dus mag je maar één deelbaar getal gebruiken en moet je kiezen tussen de getallen die als rest 1 of die als rest 2 hebben.

Ik snap het wel ongeveer, behalve die tabel, maar dat hoef je niet uit te gaan leggen hoor. Ik hou het antwoord op € 10,-

Mja, er mag wel wat uitleg bij inderdaad:

die tabel geeft eigenlijk alle gevallen weer die mogelijk zijn, aan de hand van die resten van de delingen. Daarbij neem ik twee willekeurige getallen a en b en geef ik daarvan de rest bij deling door drie die ik respectievelijk A en B noem. Daarvoor heb je natuurlijk 3 mogelijkheden: rest 0, rest 1 en rest 2. In de tabel heb ik enkele dubbele gevallen weggelaten, omdat A en B toch niet bepaald zijn: dus het geval A=1 en B=2, is natuurlijk ook geldig voor A=2 en B=1 etc. De structuur is echter helemaal hetzelfde gebleven en de tabel is zo makkelijker te analyseren (om te begrijpen hoe hij werd opgesteld is iets moeilijker, maar ik doe mijn best om het uit te leggen).
In het eerste geval heb je dus twee getallen die deelbaar door 3(rest = 0), wat dus een slechte uitkomst geeft. Stel dat je een getal deelbaar door drie en een dat als rest 1 heeft, dan geldt het tweede geval. Etc. Het vijfde geval geeft eigenlijk niet de rest weer, eigenlijk, maar als je daarvan de rest berekent, kom je op nul uit, dus dat is gelijkwaardig aan een nul. Het laatste (4) is ook de rest niet, maar de rest daarvan bij deling door 3 geeft 1, en daarom gelijkwaardig met een 1.

Misschien vraag je je af of dat wel zomaar mag, en ja, dat mag. Als je de getallen a en b optelt en ze hebben de rest A en B als ze gedeeld worden door 3, dan heeft het getal "a+b" de rest "A+B" (of juister gezegd, dan heeft die de rest "A+B" gedeeld door drie als rest). Doe het maar met getallen: 1 (r:1) + 2(r:2) = 3(r: 1+2 = 3 = r:0) en met grotere getallen: 15 (r:0) + 16 (r:1) = 31(r: 0+1 = 1).

Nu is de bedoeling zo dat je geen combinaties kunt vormen die in die tabel als 'slecht' gemarkeerd staan, dat is immers de voorwaarde die gegeven is. Je hebt hier dus een logische EN-constructie, voor als je dat zou interesseren: alle combinaties die je met je gekozen getallen kunt maken, moeten "goed"(=true/juist) als uitkomst hebben. Als er één tussenzit die "slecht" (=false/fout) is, dan is je hele constructie fout. (taalkundig: Ik wil Jan en Piet spreken. Je wilt ze dus allebei spreken, één ervan is niet goed genoeg.) In ieder geval moet je weten dat bij een EN-constructie aan alle voorwaarden voldaan moeten worden om aan de constructie te voldoen (andere frequentie constructies zijn OF (aan minstens een voorwaarde voldaan, taalkundig is dat "en/of") en exclusieve OF (aan precies één, dit is de taalkundig "of")). In de informatica worden deze constructies meer met hun Engelse benaming aangeduid: AND, OR en XOR. Als je technologie krijgt/zal krijgen, dan leer je in alle geval deze constructies wel kennen (of in ieder geval de AND en OR, de XOR vaak niet). Maar ook in de wiskunde en informatie spelen ze een cruciale rol.

Dus dat wilt zeggen: je mag geen rest-één en rest-twee tesamen hebben en geen twee rest-nul getallen hebben. Dus daarom moet je kiezen tussen de rest-één-getallen OF (XOR) de rest-twee-getallen, op die manier sluit je de constructie 1 + 2 = 3 = 0 uit, zodat je voldoet aan de voorwaarde. Maar dan heb je nog de delers, want die zijn buiten beschouwing gebleven. Nu is 0 +1 = 1 (of 0 +2 = 2 als je de rest-twee's hebt gekozen) geen deler, dus mag je een deler toevoegen. Je mag er slechts één toevoegen, omdat je bij twee delers de constructie 0 + 0 = 0 (welke een deler is) krijgt en dus niet meer voldoet aan de voorwaarde. Daarom dus precies één.

Studeer jij wiskunde of zo, of is dit standaard kost wat je in de 3e-4e klas krijgt?
Sorry voor je hoor, maar hier snap ik dus helemaal geen ene bal van. :p :confused: In ieder geval wel bedankt voor de moeite en uitleg, goed dat je het geprobeerd hebt. wel goed bedoeld hoor

Maandag komt er weer een nieuw probleem en dan zal ik ook gelijk even de uitkomst van deze week er bij zetten.

Ik doe inderdaad wiskunde en dingen moeilijk uitleggen is een specialiteit :p (zit in het 5e overigens 5ASO Wetenschappen Wiskunde, 7 uur per week met getalletjes bezig enkel in de lessen wiskunde al)

En dat is geen standaardkost, maar een beetje logica eerder. Je moet gewoon de structuur van delen/vermenigvuldigen zien. Je getal kan rest 0 tot 2 hebben, en als je twee getallen optelt en die moeten deelbaar zijn door 3, heb je maar enkele mogelijkheden wat betreft je getal als uitkomst en de twee getallen die je gaat optellen. Dat is heel simpel gezegd wat in de tabel staat. Die kleingedrukte tekst is ook wat verdergaande uitleg, omdat ik voor mezelf steeds naar een logische structuur van wiskunde zoek.

Ik dacht al zoiets, want in H3-4 of V3-4 krijg je zulke uitleg denk ik niet.