Wiskundevraaagje
 

Een kegel heeft een grondcirkel met straal 4, de hoogte is 12. Neem aan dat de eenheidskubus een kracht van 1N uitoefent naar rechts.

Bereken de plaats van het zwaartepunt...

Weet iemand deze? ik heb maandag toets maar snap er niks van :(

Ik snap er ook niks van, ben benieuwd naar het antwoord

Wat is die eenheidskubus? Ik weet wel hoe je het zwaartepunt bij een kegel uitrekent maar snap die eenheidskubus niet :S

idd

Ik kan me wel iets herinneren van een eenheidskubus bij het berekenen van zwaartepunten. In ieder geval was het een zeer omslachtig model. Ik zal het wel even nalezen.

Verrek die som staat gewoon in mijn boek :)

Ok het model zit zo in elkaar. Bij symmetrische figuren zoals een kegel ligt het zwaartepunt op de symmetrie-as. De figuur kun je verdelen in 'plakjes' met een oneindig kleine hoogte. Dit bedoelen ze waarschijnlijk met die eenheidskubus. Als je aanneemt dat op elk 'plakje' een kracht werkt, dan kun je de gehele figuur vervangen door een puntmassa waarop de som van die krachten werkt. Deze totale kracht kun je berekenen m.b.v. integreren. Zo heeft de kracht op elk 'plakje' ook een moment t.o.v. de oorsprong. Dit kun je ook berekenen met integeren. Het zwaartepunt van de figuur is dan het punt waarin het moment van de vervangende puntmassa gelijk is aan de som van de momenten van de figuur. Zie ook het roze blokje boven die som :rolleyes:

Mijn uitwerking van die som:

Noem het midden van de grondcirkel de oorsprong en de afstand van de oorsprong tot een punt op de symmetrie-as x.

r = 4 en h = 12
Tussen x = 0 en x = 12 neemt de straal van een 'plakje' lineair af van 4 tot 0
--> r = 4 - 1/3x
Voor de oppervlakte van zo'n 'plakje' geldt dan:
O = pi * (4 - 1/3x)^2
Je moet aannemen dat op elk 'plakje' een kracht werkt die even groot is als de inhoud daarvan. Elk plakje heeft een hoogte dx, dus:

F = pi * integraal van 0 tot 12 van (4 - 1/3x)^2 dx = pi * [-(4 - 1/3x)^3] van 0 tot 12 = pi * (0+64) = 64pi

M = F *x, dus:

M = pi * integraal van 0 tot 12 van x(4 - 1/3x)^2 dx = pi * [1/36*x^4 - 8/9*x^3 + 8x^2] van 0 tot 12 = pi * (576 - 1536 + 1152) = 192pi

Op de vervangende puntmassa werkt dus een kracht van 64pi met een moment van 192pi

--> M = F*x --> x = M/F = 192pi / 64pi = 3

Ik vind het zelf ook een raar model, maar ik snap ongeveer wel wat er bedoeld wordt. Beter dan zo kan ik het niet uitleggen :|