[WI] Probleem van de week (extra)
 

Nu ben ik niet de gewone poster van de "problemen van de week", maar ik heb wel ergens een probleempje opgevangen waar ik zelf ook het antwoord niet op wist en zelf een wiskundeleerkracht (mijn grootvader) kon ook geen oplossing bedenken hiervoor.
Wat wij ons hier al afvroegen is of het uberhaupt wel oplosbaar was (dus of de lengten wel een trapezium kunnen geven), als er mensen zijn die het wel of niet bestaan van deze figuur kunnen bevestigen, zeker doen :) Veel plezier ermee :)

Opgave:
In een trapezium ABCD gelden de volgende lengten, bereken hieruit de hoeken.
1. lengte van de schuine zijde AB is 4
2. lengte van de eerste evenwijdige zijde BC is 2
3. lengte van de andere schuine zijde CD is 6
4. lengte van de tweede evenwijdige zijde DA is 7
5. zoals hierboven al: BC // DA (omdat het een trapezium is, weet je wel)

Tekening:
http://img173.exs.cx/img173/4041/fig7hs.gif

Gevraagd:
hoek A = ?
hoek B = ?
hoek C = ?
hoek D = ?

Hij is niet moeilijk hoor, denk ik of ik heb het fout

Maak van het trapezium een figuur met 2 gelijke driehoeken door lijn ab en lijn dc door te trekken. (top noemen we t)

bt= 2/7*4 en dt=2/7*6

Daarna is alles uit te rekenen met cosinus regel.

Maar ben te lui om het uit te rekenen. (lees: ben cosinus regel vergeten en te lui die op te zoeken)

Ik ben er al wel uit dat het kan.

Je tekent een lijn (7) met aan twee kanten cirkels met stralen 4 en 6. Deze twee cirkels snijden elkaar ergens, en het is ook makkelijk aan te tonen dat er ergens een lijn tussen die cirkels moet zijn met lengte 2, parallel aan de eerste lijn. Ben er nu ook te lui voor ;)

is fout sorry, vergat dat 4 niet de hele driehoek zijde van de driehoek is.

bt=2/7*(4+bt)
bt=2/7*4 + 2/7*bt
5/7bt=2/7*4
bt=(2/7)/(5/7)*4

Op zelfde manier ct uitrekenen en dan cosinus regel toepassen.

het was even nadenken hoe je 't bedoelt maar idd :) (Y) klopt.
je gebruikt hier dus de gelijkvormigheid van BCT en ADT. En dan is het een stukje taart. (Engels grapje :o)

He, ja, dat lijkt me allemaal wel te kloppen (mijn grootvader was ook iets in die richting uitgekomen, maar die kon hij dacht ik niet verder uitwerken). Eerst begreep ik niet goed hoe je aan die waarden kwam, maar natuurlijk is dat door de gelijkvormigheid van de driehoeken, dat je alles kunt schalen op die manier.

Die driehoek lijkt (sorry: is) me perfect oplosbaar, eigenlijk :)

En ik heb alles ook mooi geconstrueerd gekregen (manueel: alles oké; met Cabri vlotte dit niet zo goed, daar was ik al wel met die cirkels begonnen voor het posten van dit topic, maar veel verder raakte ik niet).

Ik heb vlug eventjes de antwoorden afgemeten, dus mensen die nog berekeningen willen maken, ga u gang!
Het zijn dus afrondingen, geen absolute resultaten!
A= 82.5°
B= 98.5°
C= 136.5 °
D= 42.5°
Samen geeft dat 360°, dus het is in ieder geval een vierhoek :)

Een andere methode is de volgende: trek de hoogtelijnen BP en CQ en
stel AP=x, dan geldt: DQ=5-x. Nu geldt: BP²=AB²-AP²=16-x² en CQ²=CD²-DQ²=36-(5-x)²=36-25+10*x-x²=11+10*x-x². BP=CQ, dus BP²=CQ², dus 16-x²=11+10*x-x², dus 10*x=5, dus x=1/2, dus AP=1/2
en DQ=4 1/2. In driehoek APB geldt: cos(hoek A)=AP/AB=1/8,
dus hoek A=83°. In driehoek CDQ geldt: cos(hoek D)=DQ/CD=9/12=3/4, dus hoek D=41°. In vierhoek ABCQ geldt: hoek(BCQ)=hoek(AQC)=90°,
dus hoek A+hoek B=360°-2*hoek(AQC)=360°-180°=180°,
dus hoek B=180°-hoek A=180°-83°=97°. Uit hoek A+hoek B=180° volgt dat ook geldt: hoek C+hoek D=180°, dus hoek C =180°-hoek D=180°-41°=139°.