afgeleide van logaritmische en exponentiele functies
 

Ik weet dus ongeveer wel hoe ik die moet berekenen. Maar dat ene knopje op je rekenmachine die 'Ln', 'Logaritmus naturalis' ofzo iets, wat doet dat knopje.

Das elog(x) met e erboven zeg maar...

Is dus de logaritme van het getal e. Die heeft als speciale eigenschap dat de functie e^x niet veranderd als je hem differentieert.

Dus:
f(x) = e^x
en f'(x) = e^x
en f''(x) = e^x

Bij een normale machtsfunctie differentieer je volgens:

g(x) = 2^x
g'(x) = 2^x * ln(2)

Krijg je nog wel ;)

Het getal e komt nog wel vaker terug... In limieten bijvoorbeeld...

Zie voor een nadere uitleg betreffende afgeleiden van exponentiële en logaritmische functies tevens mijn reply in http://forum.scholieren.com/showthre...ight=afgeleide

daarvoor hebben wij de ^{superscriptcode}

:confused:

Heb ik net gehad ;)
Mijn vraag was dus: wat doet die logaritmus naturalis?
En ik weet dat de afgeleide van een exponentionele functie:
Ln(e)^. e^x is en die van een logaritmische functie:
(1/Ln(e))/x is. <--- staat er weer lekker duidelijk :p

Wat doet die :

De logaritme nemen met grondtal e. Meer valt er toch niet over te vertellen.

En voor de geïnteresseerden :

Afgeleide :

(e^x)' = e^x
(ln(x))' = 1/x

Primitieve van e^x = e^x + constante
Primitieve van ln(x) = x*ln(x) - x + constante

En voor de freaks :

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...

... en maybe deze nog:

e = lim _{n -> oneindig} (1 + 1/n)ⁿ

De ln-knop op je rekenmachine berekent de natuurlijke logatitme (afgekort ln van logaritmus naturalis) van een getal door middel van een zogenaamde machtreeksontwikkeling. Als x het getal is waarvoor ln(x) berekend moet worden (benaderd is in dit geval een beter woord), dan geeft dit: ln(x)=2[(x+1)/(x-1)+1/3*((x+1)/(x-1))^3+1/5*((x+1)/(x-1))^5+...], waarbij het rechterlid de machtreeksontwikkeling van ln(x) voorstelt.

Heb je wat meer informatie over deze reeksontwikkeling (heb ze nog niet gezien)? Wat is haar convergentiegebied, en om welk punt is ze ontwikkeld?

Deze reeks convergeert voor alle x > 0. Ze heeft het voordeel dat ze sneller convergeert dan de reeks voor ln(1+x) die slechts convergeert als x groter dan -1 en kleiner of gelijk aan 1 is. Wat je zou kunnen proberen is (x+1)/(x-1) gelijk te stellen aan p en in ln(x) de uitdrukking in p in te vullen om te zien wat je dan voor resultaat krijgt.

En voor degenen die nog niet weten wat dat grondtal e nou eingenlijk is:
1 + 1/1 + 1/1*2 + 1/1*2*3 + 1/1*2*3*4 + ........

Nog even wat extra informatie over e: het getal e wordt ook wel het getal van Euler genoemd naar de 18e-eeuwse Zwitserse wiskundige Leonhard Euler. In zijn boek Introductio in Analysin Infinitorum van 1748, kortweg de Introductio genoemd, vinden we tevens de beroemde formule
e^i*x=cos(x)+i*sin(x) die de formule van Euler wordt genoemd en waarin i de eigenschap i^2 = -1 heeft.

gave reeks :) hoe wordt de afgeleid? lijkt me niet een standaard taylorreeks...

Even een correctie op de door mij genoemde reeksontwikkeling voor ln(x): deze moet gelijk zijn aan
2[(x-1)/(x+1)+1/3*((x-1)/(x+1))^3+1/5*((x-1)/(x+1))^5+...]. Dit is zoals Tampert opmerkte inderdaad geen standaard Taylorreeks, maar door
(x-1)/(x+1) gelijk te stellen aan p en in ln(x) de uitdrukking in p in te vullen moet hij wel uit de Taylorreeksontwikkeling voor ln(1+x) en ln(1-x) afleidbaar zijn.