wiskunde opgave
 

hey,

kan iemand mij helpen met een opgave?

Gegeven: een functie f : N -> N gedefiniëerd door
f(0)=1, f( n )= f(n-1)+n (n>0)

Gevr.: f( n )=?

Het antwoord is1/2(n²+n+2)

Maar ik weet nie hoe ik tot de oplossing moet komen.

Grts.

Bekijk hoe de eerste termen eruit zien:

f(0) = 1
f(1) = 2
f(2) = 4
f(3) = 7
f(4) = 11
f(5) = 16
f(6) = 22

telkens tel je er n bij op.
een logische uitkomst zou dus zijn iets van:
som over i=1 tot n van i plus 1.

de rij a_i = i is een rekenkundige rij.
de sóm van i = 1 tot n van a_i is:
1/2 * n * (a_n + a₁)
=
1/2 * n * (n + 1)
=
1/2 * (n² + n)

dan heb je de som over i=1 tot n van i
Daar moet nog 1 bij opgeteld worden (je begint al met 1), dus krijg je

1/2 * (n² + n) + 1
=
1/2 * (n² + n + 2)

f(0)=1, f( n )= f(n-1)+n (n>0)



volgens de definitie
f(n )-f(n-1)=n
geldt
f( 1)-f(0 )=1
f( 2 )-f(1 )=2
f( 3 )-f(2 )=3
...
f(n )-f(n-1 )=n
dus als je alles links en rechts optelt..krijg:
f(n )-f(0 )=1+2+3+...+n


f(n )=f(0 )+1+2+...+n
f(n )=1+n(n+1)/2
want je weet misschien al dat 1+2+..+n=(n+1)n/2