wiskunde opgave
 

Hallo,

kan iemand helpen met deze oefening?

Bepaal een veelterm V( z ) van de tweede graad en met reële coëfficiënten waarvan de constante term nul is en waarvoor geldt:

V( z ) - V(z-1)=z

Leid uit de uitkomst een formule af voor de som S1 van de natuurlijke getallen 1,2, ..., n.

Alvast bedankt! :)

de tweede graad doet me denken aan :
az²+bz+c
de constante term is nul doet moet denken aan c=0

er moet dus gelden dat
V(z)-V(z-1)=z
dus
az²+bz-(a(z-1)²+b(z-1))=z
dus
az²+bz-a(z-1)²-b(z-1))=z
az²+bz-az²+2az-a-bz+b=z
dus 2az-a+b=z
dus (2a-1)z-a+b=0
dan kan alleen als 2a-1=0 en -a+b=0
dus a=1/2 en b=a

de polynoom is dus V(z)=z²/2+z/2
.

Stel V(z)=a*z²+b*z is de gevraagde veeterm, dan geldt: V(z)-V(z-1)=a*z²+b*z-a(z-1)²-b(z-1)=a*z²+b*z-a*z²+2*a*z-a-b*z+b=2*a*z-a+b=z,
dus a=1/2 en b=a=1/2. De gevraagde veelterm is dus V(z)=1/2*z²+1/2*z=1/2*z(z+1). Voor de som van de natuurlijke getallen 1,2, ...n blijkt nu dat deze som gelijk is aan 1/2*n(n+1).