[WI] Binomium van Newton
 

Ik snap het niet echt met het binomium van Newton
bij (a+b)^x kan je gewoon de driehoek van Pascal toepassen, maar hoe zit het bij:
n(a+b)^x, kan je dan gewoon de coeffecienten vermenigvuldigen met n? en bij bijvoorbeeld:
(a+2b)^x of (3a+4b)^x of 3(2a+7b)^x ???
wie kan mij helpen? bedankt :)

Laten we beginnen met (a+b)^x. Laat c(n,k) de binomiaalcoëfficiënt n boven k zijn, dan geldt: (a+b)^x=a^x+c(x,1)*a^x-1*b+c(x,2)*a^x-2*b²+...+c(x,x-1)*a*b^x-1+b^x.
Hieruit volgt dat de ontwikkeling van n(a+b)^x kan worden gevonden door de binomiaalcoëfficiënten met n te vermenigvuldigen.
Voor de n-de macht van a*b geldt: (a*b)ⁿ=aⁿ*bⁿ, dus aan de hand hiervan kun je p(q*x+r*y)^s uitwerken.

:s uhm..., dus je kan bij n(a+b)^x gewoon de coefficient die je uitkrijgt bij (a+b)^x vermenigvuldigen met n, ok...
maar dat laatste snap ik niet, bij (a+b)⁵ en dan krijg je als je het helemaal uitschrijft:
a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5 ab⁴ + b⁵
maar wat worden dan de coefficienten bij (a+2b)⁵???

edit:
en hoe gaat deze vraag:
bereken de coefficent bij x⁸ in de herleiding van (x-2)¹¹

Maak gebruik van de regel (2*b)^x=2^x*b^x, dan zul je zien dat (a+2*b)⁵ gelijk is aan a⁵+5*a⁴*2*b+10*a³*(2*b)²+10*a²*(2*b)³+5*a*(2*b)⁴+(2*b)⁵
=a⁵+10*a⁴*b+40*a³*b²+80*a²*b³+160*a*b⁴+32*b⁵.

Schrijf (x-2)¹¹ als (x+(-2))¹¹ en maak gebruik van de regel (-a)^2*n=((-a)²)ⁿ=((a)²)ⁿ=a^2*n en (-a)^2*n+1=(-a)^2*n*-a=a^2*n*-a=-1*a^2*n+1=-a^2*n+1.

bedankt :)