Primitieve Tangens
 

Ik zit nu te leren voor m'n toets Goniometrie morgen..
En de basis en het meeste lukt allemaal wel..
en toen bladerde ik door Wisforta en ik zag daar de primitieve van tan x niet bij staan..

Dus ik ben ff gaan nadenken, wat de primitieve nou zou zijn.. maar ik kan er niet bij komen..

Ik zat op deze weg :

tan x = sin x / cos x
dus dan zou de primitieve van sin x / cos x, iets met ln |cos x| met een correactie factor moeten zijn..

de afgeleide van ln |x+3| is immers : 1/x * x+3, dus x+3/x
Maar bij ln |cos x| gaat dit niet op want,
de afgeleide daarvan is : 1/cos x * - sin x...

Wie kan me helpe?

afgeleide van ln (x+3)= 1/(x+3)
want:

y=ln u dy/dx=1/u
u=x+3 du/dx=1

dus 1/(x+3)

en die van ln (cos x) klopt gewoon

was een fout voorbeeld zie ik nu..
de afgeleide van ln |x²+3| = 1/x²+3 * 2x (kettingregel)

Dus dat zou niet kloppe bij ln |cos x|
want de afgeleide van cos x = -sin x
dus je zou - sin x / cos x =/= tan x krijge

afgeleide van ln |cos x|= 1/cosx · -sinx dus -sinx/cosx
dus weet je dat je voor ln|cosx| een min moet hebben:)
dus -ln |cos x|

Hmmm het klinkt wel logisch..
we gaan het is bekijken .. en uitrekenen :)


Dus Y1 = tan (x)
dan 2nd calc optie 7 (de integraal rekening)..
lower : pi
upper : 1,25 pi
enter geeft : 0,34657359

Dat zou er dus ook moeten uitkomen als ik het exact bereken...

Duss.. -ln|cos1,25pi| - - ln|cos pi| uitrekenen..
intikken op de GRM geeft : -ln(abs(cos(1.25pi)))--ln(abs(cos(pi))) en de druk op enter geeft 0,3465735903..

Dus ik denk toch dat je gelijk heb :)

makkelijker kun je -ln(cos x) natuurlijk differtieren :)
y=-ln u dy/du=-1/u
u=cos x du/dx=-sin x
dus -sin x/-cos x = tan x

nja..
f = - ln |cos x|
f' = - 1/cos x * - sin x
dus - -sin x/ cos x = - - tanx = tan x :)

Heb hem ff voor je opgezocht op mijn formule kaart:

-ln |cos(x)| + C

Ik snap eigenlijk niet goed waarom jullie 'half integreren' en dan maar via trial & error tot de oplossing te komen door die te controleren via afleiden :s

Je kan toch gewoon integreren?

Int tanx dx = Int sinx/cosx dx = - Int -sinx/cosx dx

Op dit moment is de teller de afgeleide van de noemer, met als primitieve functie de ln van de noemer, dus: - ln |cosx| + C

Maar daar moet je toch partieel intergreren voor gehad hebben? En dat hebben de meeste hier niet geloof ik. (ik ook niet maar weet een beetje wat het inhoud)

Ik heb toch nergens partiële integratie gebruikt?
Enkel het feit dat Int f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| +C.

In feite is het een substitutie, en dat lijkt me toch redelijk elementair.

Het is inderdaad substitutie, maar de methode van substitutie wordt op het VWO niet meer behandeld.

Partiële integratie kon ik nog inkomen, maar als men zelfs substitutie niet meer ziet :|

Wat kan je dan überhaupt wel nog integreren? Buiten de kinderfuncties :D

Niets, toen ik van het VWO kwam wist ik nauwelijks het verschil tussen de sinus en cosinus.

Goniometrie is nog altijd een groot raadsel voor mij.

Ik begon stilaan te denken dat het kwaliteitsverschil tussen Belgisch en Nederlands onderwijs dan toch niet zo groot was, maar blijkbaar... :confused:

Definitie sinus:

y" + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Definitie cosinus:

y" + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Voilá.

Tsja. Ze zouden eens wat bèta's aan moeten stellen bij het ministerie van Onderwijs.

:eek:

Door het tekort aan goede bèta's (hier toch, dacht ik...) zullen ze die dan toch wat meer moeten betalen om ze aan te kunnen trekken ;)

Over cos/sin: ben je zeker dat dat de intrinsieke definitie van een sinus/cosinus is? Ik dacht dat die gedefinieerd werden in een rechthoekige driehoek (met de eenheidscirkel, etc).

Ja, daar ben ik zeker van. Je kunt de sinus en cosinus wel op meerdere manieren definiëren, maar dit is wel een handige manier.

Dat klopt, maar je kunt in feite ook de omgekeerde weg behandelen: op grond van de kettingregel heeft g(x)=ln|f(x)| de afgeleide f'(x)/f(x), dus de afgeleide van -ln|f(x)| is dan gelijk aan -f'(x)/f(x). Neem f(x)=cos(x), dan vind je dus dat -ln|cos(x)| de afgeleide -(-sin(x))/cos(x)=sin(x)/cos(x)=tan(x) heeft, dus de primitieve van tan(x) is dan gelijk aan -ln|cos(x)|.
Het verschil tussen het Nederlands en het Belgisch wiskunde-onderwijs is niet zozeer een kwaliteitsverschil, maar hoofdzakelijkk een niveauverschil, aangezien er bij jullie in het algemeen secundaire wiskunde-onderwijs onderwerpen worden behandeld, die hier in Nederland pas in het Hoger Beroeps Onderwijs (HBO) of de universiteit aan de orde komen. Denk bijvoorbeeld aan groepen, ringen, lichamen (bij jullie velden genoemd), toplogische ruimten en vectorruimten en een axiomatische opbouw van de (vector)meetkunde.