[WI] Vraagje
 

Ik heb twee vraagjes over wiskunde, over sommeerbare meetkundige rijen die ik niet snap en ik hooop dat jullie me kunnen helpen. Kijk:

1. Peter laat een bal vallen van 135cm hoogte. De bal komt bij het stuiteren telkens terug tot 70% van de vorige hoogte.
a. Hoeveel cm heeft de bal afgelegd als hij na twee keer stuiteren weer op zijn hoogste punt is?
b. Hoeveel cm heeft de bal in totaal afgelegd als hij is uitgestuiterd?

Ik kan die eerste (a) vraag wel uitrekenen zeg maar, maar niet met een formule. Ik snap niet hoe dat moet, want die afstand die hij stuitert is twee keer zeventig procent van die vorige afstand, dus ik weet niet hoe dat in een formule moet.

En de tweede vraag, komt denk ik een beetje op het zelfde neer:

2. Bij de eerste val van een bungeejump rekt het elastiek 40 meter uit. Neem verder aan dat je bij het terugveren telkens een afstand van 40% van de vorige val overbrugt en dat je vervolgens bij het opnieuw vallen 75% van de zojuist teruggeveerde afstand overbrugt. Bereken hoeveel meter de bungeejumper in totaal aflegt..

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen; alvast bedankt :)

Je moet expentiele formules gebruiken. b*g^t en ik denk ook integreren of een somformule gebruiken.

Dus eerste wordt 175*0.7^2 is waar de bal na de 2e keer stuiteren uitkomt.

Afstand is denk ik int(175*0.7^t),0,2,t

b. int(175*0.7^t),0,oneindig,t

Uhm... wat is 'int'? Ik zit in 4vwo, wiskundeB, en 'int' hebben we (nog) niet gehad :)

Integreren, maar dat moet niet. Je moet een somrij gebruiken.

Ja, maar hoe?

zo een rare E zit ergens op je rekenmachine. En inderdaad ik zei het fout integreren hoeft niet, somrij is wel goed:)

Bij 1a is de hoogte na stuiter n

h_n = (0,70)^n * h₀
h₀ = 135 cm
Dat noteer je met zo'n sigma. Ik heb hier geen GR bij de hand, dus ik zou ook niet kunnen zeggen hoe je dat ook al weer invoert.

Die rare E komt pas in de volgende paragraaf :P Maar ik vraag het morgen wel aan de leraar ^^

Directe formule: Un=135 x 0,7^n
recursieve " " ": Un=0,7Un-1 Met U0=135
a. U2=135 x 0,7²=66,15cm
b. Un=135 x 0,7^n=0
Vergelijking oplossen. :confused:

B klopt natuurlijk niet. Het is de totale afgelegde afstand, niet U voor n -> ∞. Aangezien de bal ook weer omhoogstuitert, is de oplossing

U₀ (loslaten van de bal) + 2 * U₁ + 2 * U₂ + ... + U_n (laatste stuiter)

maar je hoe je dat netjes doet is me ontschoten.

Volgens mij vergeet je hier dat de bal ook nog terugstuitert (zie mijn eerdere post).

Ik had vandaag geen wiskunde dus ik heb 't niet kunnen vragen ^^

Maar misschien komen jullie er alsnog uit, als ik de antwoorden geef (uit 't antwoordenboekje):

1a. 390,15 cm
b. 765 cm

2. 80m

1) Je vergeet inderdaad het terug omhoog komen van de bal, alleen bij de eerste val was de bal al boven dus ik neem die term even apart.
1e keer naar beneden is 135m, maar daarna is het steeds een gelijke afstand omhoog en terug omlaag, dat is 270*0.7ⁿ

Dus je hebt: 135 + Som(n: 1 -> inf) 270*0.7ⁿ = 135 + 630 = 765m
Voor de uitwerking hiervan kan je naar de post van mathfreak kijken, de formule voor de volledige som blijft dezelfde, het verloopt dus analoog.

Voor vraag a kan je dat ook hiermee doen, maar dan mag je de laatste terugweg niet meetellen. Sneller is gewoon even optellen:
- omlaag (135)
- stuiter 1 => omhoog en omlaag (2*0.7*135)
- stuiter 2 => enkel nog omhoog (0.7²*135)

=> 135 + 2*0.7*135 + 0.7²*135 = 390.15m

2) Ik hou de eerste term weer even apart, die is 40m
Verderop zal er steeds een factor 0.4 zijn van het terug omhoog komen, en een factor 0.75 van het terug naar beneden gaan.
De afstand afgelegd gaat dus van de vorm 0.4ⁿ*0.75^m*40 zijn waarbij we die exponenten zoeken. Schematische voorstelling van die exponenten:
n / m
1 / 0 (eerste keer terug omhoog)
1 / 1 (0.75% hiervan weer naar beneden)
2 / 1 (0.4% van het voorgaande terug omhoog)
2 / 2 (etc..)
3 / 2
3 / 3
...

Je kan dit nu in 2 te splitsen, een som voor de gelijke exponenten en eentje voor de gevallen waarin de exponent 1 verschilt.
Som(n: 1->inf)0.4ⁿ*0.75^n-1*40 + Som(n: 1->inf)0.4ⁿ*0.75ⁿ*40 = 160/7 + 120/7 = 180/7 = 40.

Je kan ook eerst deze 2 bijdragen samennemen, en dan sommeren over het geheel. Als je dat wat uitwerkt vind je als algemene term:
2803*(10/3)^-n
Sommeren voor n van 1 tot oneindig hiervan geeft ook 40.

Met de oorspronkelijke 40 van de eerste val geeft dat een totaal van 80m.

u1= u(n-1)+(u-1)*0,7
met start die 135

table:
zie je bij n=2 staan: 390,15 cm

alleen uit die b kom ik niet uit...

Antwoord: 135 + 2* (135x0.70) / (1-0.70) = 765cm

Ik heb mijn vorige reply inmiddels verwijderd, dus vergeet dat verder maar.