[WI] vraag over normale verdeling
 

Ik heb twee vragen over de normale verdeling:

- Hoe reken je de normale verdeling uit zonder je rekenmachine?? Er is wel een heel ingewikkelde formule, maar in het antwoordenboekje gebruiken ze iets heel simpels met fie.. en ik snap niet hoe ze daarop komen. (ze doen volgens mij 1- fie( x-m/s), maar wat is fie hier dan???)

okey mijn tweede vraag was deze opdracht die ik niet snap:

Een machine produceert koperen spijkers. Het gewicht van deze spijker is normaal verdeeld met een gemiddelde van 8,90 gram en een standaardafwijking van 0,50 gram.
Nou neemt iemand willekeurig 40 van deze spijkers. Hoe groot is de kans dat het totale gewicht minder dan 350 gram is?

Ik hoop dat jullie mijn vragen kunnen beantwoorden, alvast bedankt.

Als je een grafiek tekent van een normale verdeling met gemiddelde m en standaardafwijking s krijg je een klokvormige kromme die symmetrisch is ten opzichte van m. Als X de kansvariabele voorstelt bij deze normale verdeling, dan stelt fi([(x-m)/s])=P(X kleiner of gelijk aan x) de oppervlakte voor X kleiner of gelijk aan x onder de grafiek voor.
Dan nu de opgave: er is gegeven: m=8,90 gram en s=0,50 gram. Als je 40 spijkers neemt moet het gewicht van 1 spijker dus minder dan 350/40 gram=35/4 gram=8,75 gram zijn, dus als X het aantal gram voorstelt krijg je: P(X<8,75)=fi[(8,75-8,90)/0,50]=fi(-0,15/0,50)=fi(-0,30)=0,3821.

Phi is de algemeen gebruikte letter om de verdelingsfunctie van de normale verdeling weer te geven. Deze functie is inderdaad erg ingewikkeld: hij is niet eens in een fatsoenlijke formulevorm op te schrijven, alleen als integraal (van min oneindig tot a) van een functie (de dichtheidsfunctie van de normale verdeling; vaak als kleine phi geschreven) die er ook niet makkelijk uitziet:
1/(sigma*sqrt(2*Pi))*e^{-0,5((x-mu)/sigma)^2}

sqrt=wortel
mu=verwachtingswaarde
sigma=standaarddeviatie (wortel uit de variantie)
e=het bekende getal e uit de exponentiële functie

dit had ik dus ook berekend.

maar in mijn antwoordenboekje komen ze hierop uit : 0,0287

edit: en ik zat nog eens te kijken.. maar welke waarde heeft fi dan???
want fie had toch een vaste waarde?? of zit ik het nu te verwarren met een andere fi?

Pi heeft een vaste waarde. Phi hangt af van z (z = (x - m)/s).

In dat geval moet gelden: (x-8,90)/0,50=-1,90, dus x-8,90=-3,80, dus x=8,90-3,80=5,10, dus zou je voor 1 spijker een gewicht van minder dan 5,10 gram moeten hebben, en voor 40 spijkers een gewicht van minder dan 40*5,10 gram=204 gram.

sorry ik ben lastig... maar "fi hangt af van z" maar op welke manier dan???

waarom heb ik verd*mme zo'n rot wiskunde boek, want dit wordt gewoon niet uitgelegd. Ik weet ook wel hoe het met de rekenmachine moet hoor.. maar ik wil ook weten hoe het zo moet.

En trouwens van die andere vraag, dan zal het antwoordenboekje het wel weer eens fout hebben gedaan....

thx nog

Stel je de standaard normale verdeling, met verwachting 0 en variantie 1 (deze wordt vaak als stochast Z=(X-mu)/sigma genoteerd, met X een normale verdeling) voor als de klokvorm (je hebt dit plaatje vast wel eens gezien, anders moet je de functie (1/sqrt(2)*e^{-0.5x^2} maar eens plotten). De functie Phi, is een functie van z en geeft aan hoeveel oppervlakte onder die grafiek ligt aan de linkerkant van een bepaalde waarde z (vandaar dat het een integraal is van min oneindig tot die waarde z). Met andere woorden: de functie Phi geeft bij elke z de kans aan dat een willekeurig gekozen waarde volgens die kans verdeling, kleiner is dan z. De waarde van deze functie hangt dus af van de z die je kiest (kies je z=0, dan neem je de integraal van min oneindig tot 0, kies je z=1, dan neem je de integraal van min oneindig tot 1). Aangezien de functie waar je over integreert altijd positief is, wordt de waarde van Phi dus steeds hoger als je z groter kiest; hij begint bij 0 (er is een kans van 0 dat een waarde kleiner dan min oneindig is) en eindigt bij 1 (er is een kans van 100% dat waarde kleiner dan oneindig is)

okey ik snap hem nu op een ding na..

hoe bereken je phi..

in mijn boek staat bijv.

phi(0,5)=0,6921

of

phi(-2.33)=0,0099

dat zal vast wel heel easy gaan met de rekenmachine maar ik weet nie meer hoe dat moet

thx!!!!

Ik weet niet wat voor type rekenmachine je hebt, maar waarschijnlijk staat er wel iets over in de handleiding onder "normale verdeling".

Bij een Ti-83 zit het onder 2nd-vars geloof ik. Je moet dan de optie normalcdf hebben.
Je voert in normalcdf(linkergrens,rechtergrens,verwachtingswaarde,standaarddeviati e).
Om phi(0,5) uit te rekenen, kun je normalcdf(10^(-99),0.5,0,1) intoetsen (10^(-99) komt het dichtst in de buurt van min oneindig).

ik heb hem helemaal!!! yeeeeh

alleen eh.. het moet -1^99 zijn en niet 1^-99 ;)

heel erg bedankt

-1^99 = -1, he bedoelt toch zeker -e^99

nou.. dat zat ik ook al te denken maar in de handleiding van mijn gr staat -1^99 (of in rekenmachine taal -1E99 maar daar bedoelen ze hetzelfde mee..)
en als ik dan de opdrachten uit mijn boek daarmee maak kloppen ze allemaal.

edit.. : het is natuurlijk niet hetzelfde, het is -1 x 10^99 nu snap ik hem al.... heel erg stom, ik vergat een nulletje :d