[Wisk] Extremumvraagstuk
 

Iemand die kan helpen met volgend vraagstuk?

Groeten,

http://img6.imagevenue.com/loc211/th_9c5_wiskunde.jpg

Klik op afbeelding voor groter formaat

Stel de horizontale zijde van de rechthoek X, de verticale Y en het lijnstuk tussen c en de driehoek Z.

Voor de oppervlakte van de driehoek geldt Od = HA/2

Voor de oppervlakte van de rechthoek geldt Or = XY

Verder geldt:

Or = HA/2 - (H-Y)X/2 - ZY/2 - (A-X-Z)Y/2 (de oppervlakte van de driehoek min de drie kleine driehoeken)

tan (hoek c) = Y/Z
tan (hoek b) = Y/(A-X-Z)

Drie vergelijkingen, drie onbekenden. Dus als de vergelijkingen onafhankelijk zijn (dat hoop ik tenminste :D) is het oplosbaar d.m.v. substitutie van de vergelijkingen in de vergelijking voor Or.

Maar hoe je het maximum daarvan berekent is me niet duidelijk. Misschien kom ik er later op terug.

Het bovenste punt van de rechthoek op zijde ab noem ik d het punt op zijde ac noem ik e.

De verticale in de driehoek ade is L (en is dus een deel van de totale verticale rechte H). De verticale in de rechthoek is V. De lengte van L+V is dus gelijk aan de lengte van H.
D
e kleine driehoek ade is gelijkvormig met de grote driehoek abc. Dus kan je zeggen:

|de|/|ac| = |L|/|H| = (|H|-|V|)/|H|

Hieruit haal je |de|=|ac|*(1-|V|/|H|)

De oppervlakte van de rechthoek = |de|*|V|=|V|*|ac|*(1-|V|/|H|)
=-(|ac|/|H|)*|V|²+|ac|*|V|

Dit is een tweedegraadsvergelijking in |V|. Dit is de enige variabele voor een bepaalde gegeven driehoek. De rest zijn allemaal constanten. Dit is de vergelijking van een parabool met de bolle zijde naar boven. Om het maximum te vinden leiden we de vergelijking af naar |V| en stellen deze gelijk aan nul:

0=-2*(|ac|/|H|)*|V|+|ac|

Hieruit kan je |V| halen: |V|=|H|/2

De maximum oppervlakte krijg je dus wanneer je een loodlijn neerlaat uit het bovenste punt van de driehoek op de onderste zijde. De bovenste zijde van de rechthoek moet precies door het midden van deze loodlijn gaan. Dit is de rechthoek met de grootst mogelijke oppervlakte