[WI] Differentiëren
 

Ik heb even een paar vraagjes over differentiëren, ik hoop dat iemand me wil helpen :)

Gegeven is de functie f(x)= x/(x^2 - 1)
Op de grafiek van f ligt het punt A met x=2
Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn k in het punt A.

En deze:

Differentieer:
g(x)= x * 3\/x

(dat laatste is zeg maar een derde machtswortel van x, ik weet niet zeker of je het zo noemt, maar je snapt het wel :))

Alvast bedankt!

Gegeven is de functie f(x)= x/(x^2 - 1)
Op de grafiek van f ligt het punt A met x=2
Stel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn k in het punt A.

f(x) = x/(x² - 1)
f'(x) = (x²-1)-2x²/(x²-1)² = (-x² - 1)/(x²-1)²

x=2 invullen:

f'(2) = (-4 -1)/(4-1)² = -5/9

f(2) = 2/3.

Dus de raaklijn heeft als formule y_raak = -5x/9 +2/3 - 10/9 = -5x/9 -2/3

En deze:

Differentieer:
g(x)= x * 3\/x

g(x) = x^4/3
g'(x) = (4/3)x^1/3.

Hè, het klopt! Ik was er bijna van overtuigd dat het antwoordenboekje fout was :bloos: Heel erg bedankt!

Ik heb nog een vraagje, ik hoopdat iemand dit nog leest :)

Gegeven is de functie f(x)= (x^3 + 2)/ (\/x)

(dat laatste is de wortel van x)

Toon aan dat: f'(x) = (2,5x^3 - 1) / (x\/x)

(dat laatste is x keer de wortel van x, zeg maar)

Ik snap een deel van deze som, maar die 2,5x^3 krijg ik niet :S

Oja, en nog een vraag:

Differentieer:
f(x) = (x^2 + 2)/(2 \/x)
Met dat laatste bedoel ik dus weer de wortel van x.

Alvast bedankt!

f(x) = (x^3 + 2)/x^0,5

f'(x) = (3x^2 * x^0,5 - (x^3 + 2) * 0,5x^-0,5) / (x^0,5)^2
f'(x) = (3x^2,5 - 0,5x^2,5 - x^-0,5) / x
f'(x) = (2,5x^2,5 - x^-0,5) / x
f'(x) = (2,5x^2,5 - x^-0,5) * x^0,5 / (x * x^0,5)
f'(x) = (2,5x^3 - x^0) / x^1,5 = (2,5x^3 - 1) / x^1,5

Oftewel, gewoon differentieren volgens de quotientregel, en vervolgens zowel onder als boven keer x^0,5 doen.

f(x) = (x^2 + 2) / 2x^0,5

f'(x) = (2x * 2x^0,5 - (x^2 + 2) * x^-0,5) / 4x
f'(x) = (4x^1,5 - x^1,5 - 2x^-0,5) / 4x
f'(x) = (3x^1,5 - 2x^-0,5) / 4x

Dus weer differentieren volgens de quotientregel.

ik raad altijd aan om de qoutientregel zoveel mogelijk te omzeilen:

(x^3 + 2) / sqrt x = (x^3 / sqrt x) + (2 / sqrt x)

dus: x^2,5 + 2 * x^(-0,5)

differentieren met de machtregel en somregel:

2,5x^1,5 + [2 * -0,5 * x^(-1,5)] = 2,5x^1,5 -x^-1,5

kortom:

2,5x^1,5 - 1/x^1,5 en dus kmoeten we gelijke noemers maken:

2,5x^1,5 * (x^1,5 / x^1,5) - 1/x^1,5 = (2,5x^3 - 1) / x^1,5 en x^1,5 is dus x * sqrt x ;)

Maar waarom boven en onder keer x^0,5 ??

Als je bedoelt x^1.5 in de uitwerking van de sdekivit boven je: op deze manier ontstaan twee breuken met dezelfde noemer, waardoor je ze van elkaar mag aftrekken. Je mag immers alleen breuken van elkaar aftrekken (of bij elkaar optellen) als ze dezelfde noemer hebben .

Merk hierbij op dat vermenigvuldigen met x^1.5/x^1.5 neerkomt op vermenigvuldigen met 1 en dus toegestaan is.

ik heb ook nog een vraagje over differentieren, maar om daar nou een apart topic over te openen.. :s
y=sin30x differentieer je toch als y'=cos30x*30 of niet? :bloos:

klopt :)

Maar dan wel goed opschrijven, zodat het duidelijk is wat je bedoelt:

y=sin(30x)
y'=30*cos(30x)

(het is niet verplicht de factor 30 voor de cosinus te zetten, maar wel gebruikelijk)