[WI] Goniometrie
 

Een punt P doorloopt een baan met parametervoorstelling
x(t)=sin t
y(t)= sin 3t

a. Teken de Lissajousfiguur

Dit lukt wel, met de Ti-83, maar het volgende lukt niet:

Er bevindt zich een punt A op (1/2, 1), bij t= 1/6pi

b. De baan is een derdegraads functie van het type
y= -x(ax²-b)

Bereken a en b.

Met substitueren schoot ik niet op want ik heb geen 2 vergelijkingen, dus ik heb geen idee wat ik verder moet doen =/

Ik weet niet zeker of mijn antwoord klopt, maar eenmaal geplot op de GR ziet het er wel goed uit en als je misschien de antwoorden bij de vraag ook hebt kun je het controleren :)

Uit je gegevens volgt dat de derdegraadsfunctie ook door A gaat. Dit houdt in dat y(1/2) = 1. Dus -1/2(a.1/2²-b) = - 1/8a + 1/2 b = 1. (1)

Omdat we nu zoals je zelf al zag een vergelijking met 2 onbekenden overhouden, nemen we nog een punt op de oorspronkelijke grafiek. Ik ben bij t = 0,5pi gaan zitten (dit levert het punt (1, -1)) en ingevuld voor y krijgen we: -1 (a.1²-b) = -a + b = -1. Dit kun je weer herschrijven tot b = -1 + a. Vul dit nu in in (1) en je krijgt -1/8a + 1/2 (-1 + a) = 1 dus -1/8a - 1/2 + 1/2 a = 1 geeft 3/8a = 3/2 dus a = 4. Omdat b = -1 + a volgt nu dat b = -1 + 4 = 3.

Geeft voor je vergelijking dus y = -x(4.x²-3)

Schrijf sin(3*t) als sin(t+2*t)=sin(t)*cos(2*t)+cos(t)*sin(2*t)
=sin(t)(1-2*sin²(t))+2*sin(t)*cos²(t)
=sin(t)-2*sin³(t)+2*sin(t)(1-sin²(t))
=sin(t)-2*sin³(t)+2*sin(t)-2*sin³(t)=-4*sin³(t)+3*sin(t)
en maak gebruik van het feit dat x=sin(t) en y=sin(3*t).