a^b=b^a ?
 

Voor welke a en b geldt dit?

als a = b :p

ja lijkt mij ook. En verder zijn er geen andere oplossingen.

a=2 & b=4 is ook een oplossing.

ja d8 er net aan. 2^4=16 en 4^2 ook ja.

is er nog een systematische methode om deze vergelijkingen op te lossen of is het try en error?

Je kunt het ook schrijven als:

b/ln b = a/ln a

Ik geloof dat 2,4 de enige oplossing was. Er staat mij iets vaags bij van een bewijs dat er geen andere oplossingen zijn... Euler? Fermat?

Ja en als a en b dan iedere waarde aan kunnen nemen dus ook -2 en -4. Dit kan dan echter weer niet als je het in gaat vullen in de vergelijking van Mephostophilis.

als ik me goed herinner, moet je de functie f(x)=lnx/x onderzoeken en daar conclusies uit trekekn

maar ff gewoon met a en b.
a>b
ln(a)>ln(b)

1/b>1/a
-1/a>-1/b
-ln(a)/a<-ln(b)/b
ln(a)/a>ln(b)/b

de gelijkheid is er alleen als a=b..
zoiets?

mja als a en b reële getallen zijn, zijn er oneindig veel oplossingen

x^y = y^x

dan

ln(x^y) = ln(y^x)
y ln(x) = x ln(y)
ln(x)/x = ln(y)/y

aangezien ln een bijectieve functies is voor x,y>0; en ln(x)/x = a, met 0<a<1/e twee oplossingen heeft;

zijn er met behulp van zo'n a oneindig veel oplossingen te maken

echter als we x en y als integers kiezen, zijn er eindig veel oplossingen

X^(a^b) = x^(b^a) en a hoeft geen b te zijn!

Dat heeft niet met het probleem te maken.

De vergelijking is a^b=b^a en dat is bijna nooit zo. Alleen bij 4 en 2 en als a=b.

Vul maar is voor a 3 in en voor b 5. Komt toch echt iets anders uit.