vraagje wiskunde
 

op de kermis staat een reuzenrad. Op het hoogste punt is een bakje 20 m boven de grond. het rad maakt twee omw/min. op het tijdstip t=0 is het bakje beneden. op welke hoogte is het bakje na 10 seconden?

Het zal vast makkelijk zijn, maar kan iemand me zeggen hoe het moet?

We doen even alsof de straal 1 is.
Hoeksnelheid (in radialen) is 2*2*pi rad / 60 s.
Afgelegde hoek is hoeksnelheid*tijd.
Die hoek noem je a.

We nemen de eenheidscirkel, maar die draaien we rechtsom, zodat hij nu verticaal staat. De oorsprong is het middelpunt van het reuzenrad, de 'grond' noem je t=0. Met 1-cos(a) kan je de verplaatsing op de 'x-as', hier dus de hoogte, bepalen. Nu nog even rekening houden met het feit dat er hier sprake is van 10 meter i.p.v. 1 en dat het middelpunt van de cirkel op 10 meter hoogte ligt.

de omwentelingssnelheid is 4 pi radialen per 60 seconden dus 1/15 pi radialen per seconde.

kortom: na 10 seconden ben je 10 * 1/15 * pi = 10/15 pi = 2/3 pi radialen verder.

2/3 pi radialen komt overeen met 120 graden.

maak nu een driehoek van de verticaal en de positie van het bakje.

je maakt dan een hoek van 60 graden met de verticaal.

dan moet je dus de straal van het rad hebben en dan kun je met de cosinus de hoogte onder het middelpunt van het rad uitrekenen en dus de hoogte van het bakje (totale hoogte = 20 m dus daar haal je de straal vanaf. Dan trek je daar vervolgens ook de berekende waarde van net vanaf en dat is je hoogte)

ahum.. ik snap er echt niks van sorry. weet iemand ook wat het antwoord is?

Ik zie nu dat ik (en sdekivit) het te moeilijk heb uitgelegd. Het antwoord is vijftien meter.

Lijkt me te kloppen, 10(1+sin(30))m = 15m

Oke dankje, maar waarom die 30?

Oh is dat de hoek?

Oh man, waarom krijg is als ik dat bereken 11,54?
*trekt één voor één alle haren uit het hoofd*

Ok. Teken even een plaatje: een cirkel (stelt gewoon het reuzenrad voor) met in het onderste punt een bakje, daar geldt h = 0 m. In het hoogste punt geldt h = 20 m. Halverwege die twee punten geldt h = 10m.

De baan van het bakje kunnen we nu vangen in een sinusoide;

h(t) = a + b cos (2pi/c . t) (algemeen functievoorschrift, voor als de cos vanuit zijn hoogste punt omlaag gaat, is hier niet het geval, want begint juist op hoogte h = 0, juist het laagste punt!)

a is de evenwichtsstand, b de amplitude, c de periode.

in de evenwichtsstand is het bakje precies tussen de uiterste punten: dit is dus op hoogte h = 10. a is dus 10.

b is de amplitude: het verschil tussen het hoogstepunt en de evenwichtsstand: 20 - 10 = 10 dus. Als b positief is, gaat de grafiek van het hoogste punt af, omlaag. Hier gaat het bakje vanaf het laagste punt omhoog dus de amplitude wordt - 10.

Gegeven dat in een minuut het bakje 2 keer rond gaat, weten we dat het bakje in 30 seconden 1 x rond gaat.

Geeft ons als vergelijking voor de hoogte dus:

h(t) = 10 - 10 cos(2 pi / 30 . t)

Waar bevindt het bakje zich op t = 10? Gewoon invullen:

h(10) = 10 - 10 cos (2/3 pi) = 10 - 10 . -0.5 = 15 m.

Na 10 seconden is het bakje dus op 15 m hoogte.

Moest sinus zijn natuurlijk, en de waarde die jij vindt komt omdat je in radialen werkte terwijl de hoek in graden was.
30° = 30*pi/180 rad

Wat een competitie allemaal :)

haha ja en ik dacht nog wel dat het zo makkelijk was.. Ik ben nu eenmaal een enorme wiskundekneus.