[Wiskunde]
 

S=integraal teken

S x(5+x²)³ dx =

hier kom ik wel uit:

S 1/2x · x(5+x²)³ 2x dx =
S 1/2 (5+x²)³ 2x dx =
S 1/2 (5+x²)³ d{5+x²} =
substituren : t=5+x²
S 1/2 t³ dt = 1/8 t⁴ + C
1/8 (5+x²)⁴ + C

http://www.wiswijzer.nl/bestanden/q1297img6.gif

maar bij deze snap ik de tweede stap niet.

Omdat geldt dat d(sin(x))/dx = cos(x). Geldt dus ook dat d(sin(x)) = cos(x) dx. In het eerste deel is dus cos(x) dx vervangen door d(sin(x)).

Er geldt: d(sin(x))=cos(x)*dx, dus sin(x)*cos(x)*dx=sin(x)*d(sin(x))=t*dt
=d(1/2*t²), met t=sin(x), dus dat geeft voor de integraal van
sin(x)*cos(x)*dx de waarde 1/2*sin²(x)+c.

dus gewoon een simpele substitutie ;)

noem t = sin x, dan dt/dx = cos x en dus dx = dt / cos x

dan S sin x * cos x dx = S t * cos x * dt/cos x

-->dat wordt dus S t * dt

dat resulteert in 1/2 * t^2 en omdat we zeiden dat t = sin x is de primitieve dus 1/2 sin^2 x plus een constante