[Wiskunde] Extremumvraagstuk
 

Opgave: Firma Wood maakt houten geraamtes voor opbergdozen. Zo'n opbergdoos heeft de vorm van een balk met een vierkant als grondvlak. Voor een doos is 6 meter hout precies voldoende. Het is de bedoeling dat de inhoud van zo'n doos maximaal is. Bij welke afmeting is de inhoud van zo'n opbergdoos maximaal.

Dus: maximale inhoud balk = z²*h (h=6)
=> f(x) = 6x²
f '(x) = 12x

Kritisch punt: 12x = 0 <=> x = 1/12

Dus dan zou de zijde van het grondvlak, wat een vierkant is, 1/12meter moet zijn... :confused:

Je gaat de fout in door aan te nemen dat de hoogte 6 is:). Er staat dat het geraamte totaal 6 meter moet zijn. Dit wil dus zeggen: 8z + 4h = 6 (8h = het grondvlak en het bovenvlak; 4h zijn de hoogtes op de 4 hoeken). Nu heb je dus twee onbekenden en daar heb je niets aan. Wel weet je dat 4h = 6 - 8z en h = 1,5 - 2z.

Verder weet je dat de inhoud z² · h maxiamaal moet zijn. Dit wil dus zeggen dan z² · (1,5 - 2z) = -2z³ + 1,5z² maximaal moet zijn. Dit maximum kun je bepalen door de afgeleide op te stellen. Deze is -6z² + 3z. De z_top van deze functie is 0,25. Dit wil dus zeggen dat z 0,25 moet zijn en aangezien h = 1,5 - 2z, is h dus 1.

u r good :D

Eigenlijk niet, want ik zie nu dat er een fout in mijn berekening zit :o.

Het eerste stuk klopt nog, maar ik deed iets fout met de afgeleide. Ik heb namelijk de top uitgerekend, maar eigenlijk moest ik het nulpunt van de afgeleide hebben. Dus even de verbetering: de afgeleide is 0 bij z = 0 en z = 0,5. De eerste valt natuurlijk af en dus is z 0,5. Dit wil zeggen dat h ook 0,5 is (h = 1,5 - 2z).

Maar ik zou dit nu dus nog maar even laten controleren door iemand als Mathfreak :o.

'k Zit nog vast bij een tweede vraagstuk :( het laatste :p

Opgave: Bij een metalen plaat van 30cm bij 50cm worden in de hoeken kleine congruente vierkanten weggesneden. Daarna wordt de plaat tot een bakje gebogen.

a) Bereken lengte, breedte en inhoud van het bakje als de hoogte 4 cm bedraagt.

b) Druk lengte, breedte en inhoud uit in functie van de hoogte h. Tussen welke waarden kan h variëren?

c) Voor welke afmetingen is de inhoud van het bakje maximaal? Hoeveel bedraagt deze maximale inhoud?

http://img170.imageshack.us/img170/8647/kaderke9cf.jpg

Oplossing:

a) inhoud bakje = (l . b) . h
h = 4cm (mits het vierkantjes zijn die worden weggesneden, zal de zijde van die vierkantjes ook de hoogte zijn)
l = 50 - 2x = 44cm
b = 30 - 2x = 22cm

dus inhoud = ( 42cm . 22cm) 4cm = 3936 cm³

b) & c) hier weet ik gewoon niet hoe ik eraan moet beginnen :confused: we hebben dit soort oefening nog nergens gezien op school, en ik moet ze maken als vakantietaak :o :s

De hoogte is 4 cm, dus de vierkanten die weg zijn gesneden waren 4 bij 4 cm. De lengte van het bakje is dus 50 - 4 - 4 = 42 cm en de breedte is dus 30 -4 - 4 = 22 cm. De inhoud is dus 42 * 22 * 4 = 3696 cm³.

Urgh sorry, kutrekenfout...maar das niet echt het probleem...*scroll naar boven voor update*

Stel de hoogte h. Dan is de breedte dus 30 - 2h en de lengte 50 - 2h. De inhoud is lengte · breedte · hoogte dus (50 - 2h) · (30 - 2h) · h = (4h² - 160h + 1500) · h = 4h³ - 160h² + 1500h.
Verder wil je weten welke waarden h kan aannemen. Het is een lengte dus h moet sowieso positief zijn. Verder moet 2h kleiner zijn dan 30 (anders heb je geen breedte meer) dus h moet kleiner zijn dan 15 (en dus groter dan 0).

Edit: ik moet nu weg dus ik heb nu geen tijd meer voor opdracht C. Maar je hebt nu de formule van de inhoud en je wilt de maximale inhoud berekenen. Stel de afgeleide op en bereken de snijpunten met de h - as. En je hebt zo al je antwoorden:).

Check je PM

Oké, bij deze dan ook opdracht C:
De formule van de inhoud is 4h³ - 160h² + 1500h.
De afgeleide is dus 12h² - 320h + 1500.
Met de abc-formule kun je nu de snijpunten met de h-as uitrekenen: h = (- b ± sqrt(b² - 4ac))/(2a) met a = 12; b = -320 en c = 1500.
h = (320 - sqrt((-320)² - 4 · 12 · 1500))/(2 · 12) = 6,0685...
of
h = (320 + sqrt((-320)² - 4 · 12 · 1500))/(2 · 12) = 20,598...

Je ziet dat alleen het bovenste van de twee antwoorden juist kan zijn, aangezien we eerder al hadden gezien dat h kleiner moest zijn dan 15.
De hoogte is dus 6,0685...
De breedte is dus 30 - 2h = 30 - 2 · 6,0685... = 17,862...
De lengte is dus 50 - 2h = 50 - 2 · 6,0685 = 37,862...

De inhoud kan je het best uit rekenen door de h weer in te vullen in de formule van de inhoud: 4h³ - 160h² + 1500h
4(6,0685...)³ - 160(6,0685...)² + 1500 · 6,0685... = 4104,4...cm³.

Fouten voorbehouden ;).

z = h = 1/2 klopt :)

Rest lijkt op het eerste zich ook correct (y)