[wi] first derivative with respect to time (t)
 

Weten jullie hoe ik in Godsnaam de eerste afgeleide van Y naar tijd (t) kan berekenen?

Yt = Kt^a * Lt^(1-a)

Hierin zijn t voetnoten en staat a voor alpha

Ik aanbid degene die hier het antwoord op weet voor altijd!

Voetnoten? Bedoel je mischien dat die onbekenden afhangen van t, dus y(t) en dergelijke? Alles dat van t afhankelijk is moet afgeleid worden, ingeval van een product pas je dan ook de productregel toe.

ja ik denk het wel. Ik weet echter niet wat ik dan met alpha moet doen als ik de afgeleide neem

want de volgende opdracht is dat ik de afgeleide die ik dus in de eerste vraag verkregen heb, moet delen door Y(t) om zo tot een groeivoet te komen

Voor het eerst dat ik een voetnoot tegenkomt in een vergelijking.

Y(t) = Kt^a * Lt^(1-a)
Kt^a = B(t)
Lt^(1-a) = C(t)
Y(t) = B(t)*C(t)

Dan

Y'(t) = B'(t)C(t) + B(t)C'(t) = aKt^a-1*Lt^1-a + (1-a)Lt^-a*Kt^a = aLK + (1-a)KL = KL

Hmm...

Dat is gewoon een rekenregel:

f(x) = ax^b
f'(x) = abx^b-1

op dit antwoord kom ik ook, waarna er uiteindelijk
Y'(t)=KL overblijft

Dezelfde edit op hetzelfde moment :D

Eigenlijk hadden we niet zo dom moeten doen:

Y(t) = Kt^a * Lt^(1-a) = KLt

:D

Dankjullie wel, ben eeuwig dankbaar!

Ik heb nog een probleempje (ja, ik weet het, ben een kneus wat differentiëren betreft)

Ik moet eerst het natuurlijk logaritme nemen van de volgende functie, en hem daarna afleiden naar t

Z(t)= X(t)/Y(t)

Is de ln van deze functie gewoon Ln X(t)/Ln Y(t)? En hoe moet ik de functie daarna differentiëren naar t?

Er geldt: ln(Z(t))=ln(X(t)/Y(t))=ln((X(t))-ln(Y(t)). Voor f(t)=ln(g(t)) geldt volgens de kettingregel: f'(t)=g'(t)/g(t). Voor de afgeleide van ln(Z(t))=ln((X(t))-ln(Y(t)) vind je dan de waarde X'(t)/X(t)-Y'(t)/Y(t).

het is ln (x(t)/y(t)) of ln x(t) - ln y(t)

tweede gaat wat makkelijker.

kettingregel= dy/dx=dy/du*du/dx (dus 2 keer kettingregel)

Y= ln u afgeleide = 1/u
u=x(t) afgeleide = x'(t)
dus x'(t)/x(t) en y'(t)/y(t)
z'(t) = x'(t)/x(t) - y'(t)/y(t)

De laatste regel klopt niet. Wat je bedoelt is dat ln(Z(t)) de afgeleide X'(t)/X(t)-Y'(t)/Y(t) heeft. Z(t) heeft volgens de quotiëntregel namelijk de afgeleide (X'(t)*Y(t)-Y'(t)*X(t))/(Y(t))².

Echt heel erg bedankt Mathfreak! Heeft me echt enorm geholpen.

Ik heb nu nog één laatste vraag, en daarna laat ik jullie weer met rust ;)

Als Z(t)= X(t)^a (waarin geldt a = alpha), hoe moet ik hier dan het natuurlijk logaritme en vervolgens de differentie naar t van vinden?

Neem opnieuw eerst de natuurlijke logaritme van beide leden.
Z(t) = X(t)^a <=> ln(Z(t)) = ln(X(t)^a)

Gebruik de eigenschap van logaritmen dat log(x^a) = a*log(x):
ln(Z(t)) = a*ln(X(t))

Afleiden naar t geeft dan weer: a*X'(t)/X(t)

Dankjewel!!

Over die 'voetnoten': bij mijn college mathematische fysica wordt een subscript gebruikt om een afgeleide aan te geven, dus bijvoorbeeld y_t = dy/dt.

Dat is vreemd, voetnoten duiden (hier althans) meestal een afkorting aan, y op tijdstip t of iets dergelijks. In de fysica (meerbepaald mechanica) worden tijdsafgeleide ook wel met een 'dot' over de onbekende aangeduid.

Dat klopt, maar in de functionaaltheorie is de notatie dy/dx soms wat omslachtig, ook omdat de afhankelijkheid van de functionaal naar een afgeleide belangrijker is dan de afhankelijkheid van x van de afgeleide.

Leuke zin, vooral dat laatste :)

Verder gebruik ik het alleen voor eventuele partiële afgeleiden, die voetnoot, maar dan bij de functie (f dus gewoonlijk) en zelden de onbekenden zelf.

Ik studeer economie, en deze opdracht ging over de groei van het GDP, afhankelijk van de tijd. De docent heeft ervoor gekozen om de t in subscript te zetten.