[WI] limieten
 

Kan iemand me uitleggen waarom
limiet (x -> 0) van (tan 3x) / (x) gelijk is aan 3 * limiet (x -> 0) van (tan 3x) / (3x)?

Er bestaat een regel, die zegt:

lim(k*f(x)) voor x naar c = k*lim(f(x)) voor x naar c

als k een constante is.

Dan geldt ook:

3*lim(tan 3x / 3x) voor x naar c = lim (3*(tan 3x / 3x)) voor x naar c
= lim (tan 3x / x) voor x naar c

Er komt trouwens 3 uit die limiet.

Er geldt: tan(3*x)/x=3*tan(3*x)/x*1/3=3*tan(3*x)/(3*x),
dus lim (x -> 0)[ tan(3*x)/x]=lim (x -> 0)[3*tan(3*x)/(3*x)]
=3*lim (x -> 0)[tan(3*x)/(3*x)]=3*1=3,
aangezien lim (x -> 0)[tan(a*x)/(a*x)]=1.

Dank jullie wel voor de uitleg!
Kun je me ook vertellen wat er uit het limiet (t->0) 2t / ((sin t) - t) komt?

Als je 0 invult krijg je de onbepaaldheid 0/0.
Heb je de regel van l'Hopital gezien?

Je mag dan namelijk teller en noemer afzonderlijk afleiden.

We mogen nog geen afgeleide gebruiken. Het is dus de bedoeling dat ik het limiet anders schrijf en dan het limiet bepaal.

Teller en noemer delen door t geeft: 2/(sin(t)/t - 1)

lim(t->0) sin(t)/t is een standaardlimiet, als je die mag gebruiken tenminste...

Dat mag wel, maar dan krijg je toch 2 / (1 -1) en je mag niet delen door 0.

Wel, delen door 0 zelf mag niet maar deze limiet laat t naderen naar 0. Wat krijg je dan, onder de voorwaarde dat de teller niet 0 is?
Merk bovendien op dat sin(x)/x langs onder naar 1 gaat wanneer x 0 nadert, dus je noemer gaat inderdaad naar 0 maar langs de negatieve kant. Het antwoord is bijgevolg -∞. (min oneindig)

Zo had ik het nog niet gezien nee, volgens mijn boek heb je helemaal gelijk.

Als het niet duidelijk is, vraag gerust!

Handig als je al die Taylorreeksen weet bij het bepalen van dit soort limieten. :)

Gefeliciteerd!
(en wat zijn Taylorreeksen?)

Een taylorreeks is een reeks waarbij je een functie om een bepaald punt kunt ontwikkelen, om ze evt. te benaderen.

In dit geval is de taylorreeks van sin(x) rond het punt 0 bvb gelijk aan:
x-x^3/3!+x^6/6!-x^7/7!+x^9/9!-...