[WI] Differentiaal Vergelijkingen
 

Wie helpt mij met het oplossen van de volgende vragen?

Gegeven is de d.v. : dy/dx = y²

a Toon aan dat de functie y = 0 een oplossing is van deze d.v.

b We kijken of
y = ax + b een oplossing is. Voor welke waarden van a en b is dit zo?

c De functie y= -1/x is een oplossing van de D.V. Toon dit aan.

d Teken de grafiek van in het lijnelementenveld en zoek aan

de hand van de figuur nog meer oplossingen van de d.v.

Stel y=0. Dan geldt dy/dx = 0, y² = 0. Q.E.D.

Citaat:

b We kijken of y = ax + b een oplossing is. Voor welke waarden van a en b is dit zo?

Stel y=ax + b, dan geldt dy/dx = a.
y² = (ax+b)² = a²x² + b² + 2axb.

dy/dx is constant dus y² mag niet van x afhangen, dus a = 0 en b = +/-sqrt(a).

Citaat:

c De functie y= -1/x is een oplossing van de D.V. Toon dit aan.

Stel y=-1/x, dan geldt dy/dx = 1/x². y² = 1/x². Q.E.D.

Citaat:

d Teken de grafiek van in het lijnelementenveld en zoek aan de hand van de figuur nog meer oplossingen van de d.v.

Geen idee wat een lijnelementenveld is. :)

een lijnelementveld is hetzelfde als een richtinsveld. Je moet dus het hele veld tekenen met stapwaarde 1. En dan per stap de hellingslijn tekenen. En dan begin je op een waarde en kijk je naar welk antwoord deze waarde loopt.

Bedankt tot dusver, nu zit ik alleen nog te tobben met die laatste vraag, ik heb geen flauw idee hoe ik uit het richtingsveld meer oplossingen kan afleiden.

Dan heb je de 'algemene oplossing' nodig:

dy/dx = y²
dy/y² = dx
-y^-1 = x + C
y = -(x + C)^-1

Die constante C varieer je dan (als ik geen fouten heb gemaakt).

Het klopt, je hebt geen fouten gemaakt, maar ik denk niet dat de topic starter het zo mag doen (als hij het al zou kunnen), vermits het toch expliciet op een andere manier gevraagd is. Hoe dat in z'n werk gaat weet ik niet.

Aan de hand van de d.v. dy/dx=y² kun je het richtingsveld of lijnelementenveld als volgt vinden: dy/dx stelt de helling van de raaklijn in het punt (x,y) voor. Bovendien weet je ook dat y=-1/x een oplossing van de d.v. is, dus bij een gegeven x kun je een bijbehorende y vinden. Door vervolgens in ieder punt (x,y) een stukje van de raaklijn in dat punt te tekenen vind je het gevraagde lijnelementenveld.

Ondertussen ben ik uit vraag d gekomen, maar nu heb ik weer een ander vraagstuk waar ik niet uit kom:

Bij geremde of logistische groei hoort de formule:

dN
--- = c.N.(M-N)
dt

waarbij M de grenswaarde van de populatie-omvang is en waarbij steeds geldt: 0 < N < M (de <> tekens moeten groter/kleiner dan of GELIJK AAN tekens voorstellen, aangezien ik die tekens niet kan vinden)

In een artikel over groei van een dierenpopulatie komt de volgende formule voor:

N(t) = A / 1 + B . e^-Ct, waarbij A, B en C positieve constanten zijn.

Dus geldt:

dN/dt = A.B.C. e^-Ct / (1 + B × e^-Ct)²

a Naar welke grenswaarde M nadert N als t --> oneindig ?

b Herschrijf door handige substitutie dN/dt in de vorm

dN/dt = cN (M - N) en bepaal de waarde van de constante c.

c Laat met de formule dN/dt = cN (M - N) zien dat de groeisnelheid maximaal is als N = 1/2M

d Gebruik de formule voor N om te bepalen bij welke t de groeisnelheid maximaal is en bepaal hoe groot deze maximale groeisnelheid is, uitgedrukt in A, B en C.

hallo B..R

Als je naar http://home.hetnet.nl/~alchemilab/ loopt,
EUCLIDES.EXE ophaalt en unzipt
dan vind je onder diff.verg. en even puzzelen dat...

A = M, B = M-y0 en C = cM
Of dat de slimme substitutie is??????

Meer info? volg de daar gegeven links.
Meer over de log.groei haal ook op: ORESME.EXE