[wiskunde] een paar reeksen/limieten...
 

Ik heb drie opdrachten waar ik nu al een halve week mee bezig ben en ik kom er maar niet uit...

1. Toon aan dat de reeks (Log(k)/(k*Sqrt(k)) congergeert voor k =>1 (groter dan/gelijk aan 1).

Hier heb ik het wortel- en quotiëntkenmerk gebruikt maar daarmee kom ik niet verder. Ik weet niet hoe ik hem moet integreren (die kennis heb ik simpelweg niet, helaas) dus het integraalkenmerk valt ook af. Verder kan ik maar een reeks verzinnen waarvan alle termen groter zijn dan die hierboven en convergeert (of divergeert)...

2. Bereken alle waarden a waarvoor de reeks van (Log(k))^a/k^2 convergeert voor k => 1.

Zelfde verhaal als hierboven eigenlijk. Als ik het wortel- of quotiëntkenmerk gebruik kom ik op een beuk uit waarmee ik niet veel kan. Waarschijnlijk moet je een of ander slim truukje gebruiken om hem slimmer te schrijven, maar daar kan ik maar niet op komen.

3. Laat zien dat de reeks (-1)^k * Sqrt(k) * Sin (1/k) convergeert, maar niet absoluut convergent is voor k => 1.

Onder andere het kenmerk van Leibniz heb ik hierbij geprobeerd maar ik kan niet laten zien dat Lim k-> (oneindig) |a_k| naar nul convergeert, en dat |a_k+1| < |a_k|...

Bijna iedereen in de eerstejaars wiskunde groep worstelt met deze vragen en we kunnen zeker niet worden beticht van er te weinig tijd in stoppen, maar we komen er maar niet op. Heeft iemand van jullie een idee/hint/oplossing? Alvast hartstikke bedankt.

Wat is nu precies de reeks?

Bij elke opdracht hoort een andere reeks.

(Log(k)/(k*Sqrt(k)) is voor zover ik kan zien een uitdrukking, geen reeks...

Met een beetje goede wil zie je daar een reeks van k = 1 tot ∞ maar uiteraard hoort het normaal erbij te staan.

Mja dat probeerde ik duidelijk te maken met "voor k => ..." maar inderdaad, je hebt gelijk.

Pas de substitutie k=e^t toe. Je krijgt dan een rij b_t=t/e^{1 1/2*t}=t*e^{-1 1/2*t}. Je moet nu aantonen dat de bijbehorende reeks voor t=>0 convergeert. Pas daarvoor het quotiëntkenmerk op de rij b_t toe.

Pas dezelfde substitutie toe als bij 1, en pas opnieuw het quotiëntkenmerk op de rij b_t die je dan krijgt toe.

Merk op dat |sin(1/k)|=<1 is, dus a_k=(-1)^k*sqrt(k)*sin(1/k)<(-1)^k*sqrt(k). Stel b_k=(-1)^k*sqrt(k), dan geldt: |b_k|=sqrt(k) is een monotoon stijgende rij met een bijbehorende divergente reeks, dus omdat de reeks bij |b_k|niet convergent is, is de reeks bij b_k niet absoluut convergent. Vanwege a_k<b_k is dus ook de reeks bij a_k niet absoluut convergent. Bewijs nu door het quotiëntkenmerk op de rij b_t toe te passen dat de reeks bij b_k wel convergent is, en dat dus ook de reeks bij a_k wel convergent is.

De laatste uitwerking klopt niet helemaal. Je stelt dat a_k kleiner is dan b_k, en dat b_k divergeert. Maar dat zegt dan nog niks over of de reeks a_k divergeert. b_k is slechts een bovengrens.

Maar het is makkelijk op te lossen. Er geldt tenslotte sin[1/k] >= -1, voor alle k. Dus a_k > (-1)^k+1*Sqrt[k], en hetzelfde argument gaat nu wel op.

Ik stel dat de reeks bij |b_k| divergeert, en dat de reeks bij b_k daarom niet absoluut convergent is. Er geldt immers dat de reeks bij b_k alleen absoluut convergent is als de reeks bij |b_k| convergent is. De reeks bij b_k is dus niet absoluut convergent, maar ik heb niet beweerd dat die reeks dan divergent zou zijn.