[Wis]Integreren: oppervlakte omwentelingslichaam berekenen
 

Het gaat over som 31c van de Algemene Herhaling van boek NGNT 4 van de methode Getal en Ruimte.

Gegeven is de functie f(x) = 2^x. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as, de y-as en de lijn x = 1.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte (dus niet de inhoud, zoals meestal de vraag is) van het omwentelingslichaam dat ontstaat als W om de x-as wentelt.

-------------------------------------------------------------------------

Zelf denk ik: oppervlakte omwentelingslichaam W = omtrek * h (zoals bij een cilinder, omtrek cirkel * de hoogte van de cilinder), dus opp. W = 2 * pi * straal * h. Als je straal * h doet, bereken je in feite de oppervlakte van het vlakdeel W. Dus dan zou het worden: 2 * pi * opp. W. Maar ik kom niet op het antwoord dat het boek zegt.

-------------------------------------------------------------------------------

Het antwoord van het boek staat hier: http://www.getalenruimte.epn.nl/geta...antwoorden.pdf (pdf-document). Doorbladeren naar 31c.

Zij stellen de formule voor 2 pi * booglengte van f(x) op, en gebruiken dan optie 7 uit het calc-menu (integreren).

Wat ik vooral niet snap is waarom het boek de booglengte gebruikt. En waarom mijn manier fout is.

Laat maar zitten, het is een formule die we niet hoeven te kennen.

bij 2 * pi * opp. W bereken je de inhoud (zoals meestal de vraag is)

Je manier is op zich wel goed. Neem bijvoorbeeld de functie f(x)=r met r>0. We kiezen een vlakdeel V, begrensd door de (positieve) X-as, de grafiek van f (dit is de lijn y=r) en de lijnen x=a en x=b. We gaan eerst de booglengte tussen a en b bepalen. Dit is gelijk aan de integraal van sqrt(1+(f'(x))²)*dx van a tot b. Er geldt: f'(x)=0, dus de gevraagde integraal is gelijk aan b-a=h.
Door V nu om de X-as te wentelen krijgen we een omwentelingslichaam, waarvan de oppervlakte gelijk is aan de integraal van 2*pi*f(x)*sqrt(1+(f'(x))²)*dx van a tot b. Omdat f(x)=r constant is en f'(x)=0 vinden we dat de gevraagde integraal gelijk moet zijn aan 2*pi*r*b-2*pi*r*a=2*pi*r(b-a)=2*pi*r*h. Dit geeft, zoals je ziet, de oppervlakte van een cilinder met straal r en hoogte h. Je kunt dus met de algemene formule voor de oppervlakte van een omwentelingslichaam op die manier afleiden dat een cilinder met straal r en hoogte h de oppervlakte 2*pi*r*h heeft, omdat je in dat geval met een constante functie f(x)=r te maken hebt. Wanneer de functie f niet constant is zul je dus van de algemene formule voor de oppervlakte van een omwentelingslichaam gebruik moeten maken om die oppervlakte te kunnen berekenen.

Dank je wel, ik begrijp het nu :)

Graag gedaan. :)